Vorrei poter tornare liceale e rimuovere con le mie mani, domani mattina, il crocefisso (quel crocefisso che da noi per mesi è stato appeso a testa in giù ad opera di qualche compagno metalluso). Non perché questa dell’ineccepibile sentenza europea sia una vittoria, ma perché dovrebbe essere l’inizio di una battaglia, di una lite continua, di una sana discussione.

E la battaglia non è affatto quella degli atei, o degli anticlericali, o dei devoti di altre religioni contro i cattolici. Ma è quella dei cristiani e di tutti quelli che praticano di fatto un confronto ecumenico con le altre confessioni, contro le istituzioni e gli istituti cattolici.

Quelle istituzioni che misurano la loro permeanza* sociale in base a confessioni impartite, crocifissi appesi e 8 permille intascati, e non si rendono conto che tanta parte degli studenti sotto quella crocetta praticano un’altra religione, e la stragrande maggioranza se ne fotte altamente di qualsiasi religione, tantomeno la loro. Senza dimenticare che quegli altri fanno digiuno per un mese, e loro riescono a riempire le Chiese soltanto alla vigilia di Natale, credenti di buona fede ben gonfi di formaggi francesi e pesce crudo.

Sentivo Cacciari all’apice della sua spocchia commentare sull’incomprensione del simbolo (pieno accordo, tant’è che lo stesso Cristo lo rimuoverebbe dalle aule oggi potesse tornare sulla terra) e sul fatto che, essenso secondo gli esiti dell’elucubrazione sua, di Kierkegaard, di Sant’Agostino e di altre dieci persone che fanno la storia del pensiero umano e tutti gli altri caproni sono indietro di secoli rispetto al frutto del loro pensiero, dicevo essendo la croce un simbolo laico di sconfitta e accettazione del dolore, e la religione cristiana sostanzialmente laica (sarà stata laica la discussione sul fine vita di Eluana Englaro?), cadaveri di tal fatta andrebbe esposto in tutti i luoghi pubblici. Discorso filosoficamente pregnante, sicuramente. In un’intervista parallela Cacciari criticava la scelta del leader del PD e gridava allo scandalo perché i suoi moniti non sono mai stati ascoltati. E potranno anche essere giusti, questi moniti, ma non è che qui si pecca un tantino di etnocentrismo o di egocentrismo? Non è che gli altri milioni di votanti alle primarie, gli altri milioni di praticanti di altre religioni, potrebbero avere un pensiero filosofico diverso, e magari considerare la croce alla stregua semplicemente della potenza della Chiesa Cattolica… E’ per questo che ci sono i principi e c’è la giurisprudenza: servono a spogliare un fenomeno della sua interpretazione, per quanto possibile, e a ridurlo a dei valori quanto più basilari e condivisibili possibili. I principi a volte possono fare male, andare contro quello che vorremmo; possono scottare. E Cacciari si è scottato, ma proprio tanto.

*NdA (neologismo dell’autore).

Ogni anno in Italia si ammalano dell’influenza stagionale 3-4 milioni di persone, poco meno del 10% della popolazione. Alcune migliaia muoiono per i motivi che sappiamo, persone già deboli e debilitate da altre malattie, per la sovrapposizione con infezioni batteriche, perché cadono dalle scale in preda ai deliri etc. Quest’influenza è più virulenta, ed è stato stimato da fisici ed epidemiologi un 30% di diffusione. Quindi dovessero morire 20mila persone saremmo nella media.

Mi auguro che Repubblica non voglia pubblicare uno ad uno i nomi di queste 20mila buonanime.

Anche perché sarebbe un’ottima strategia per affollare gli ospedali e ambulatori di gente sostanzialmente sana ma portatrice del virus, impedendo a chi avesse veramente delle complicazioni di avere l’assistenza necessaria. E come si sà i luoghi pubblici e affollati (ospedali, scuole, aereoporti) sono i nodi nevralgici della trasmissione delle malattie. E negli ospedali ci stanno proprio quegli individui già debilitati che potrebbero rischiare di più.

In Inghilterra si è preferito diffondere informative su come areare i locali, come mantenere distanze ragionevoli da persone che mostrano sintomi, sull’evitare effusioni con sconosciuti (?). In Italia i medici di base staccano il telefono, la gente se vede salire la temperatura si preoccupa (e mi preoccuperei anch’io se mio figlio avesse febbre a 40), e non sa dove sfogare l’ansia. In compenso sarà somministrato un vaccino preparato in fretta, i cui effetti collaterali non sono ben noti, dopo che presumibilmente il picco dell’influenza sarà passato. A beneficio delle case farmaceutiche, ben rappresentate dalla moglie del ministro con delega alla Salute.

I film di Michael Moore mi sono sempre piaciuti, non tanto come documentari ma come manifesti (e non ci vedo nulla di male) che vanno secondo me visti con occhio americano, cioè con il background culturale e la consapevolezza politica di uno studente di college - rasente lo zero, ma forse per questo loro sono capaci di una critica naive e genuina nei confronti del sistema, e più predisposti a cambiamenti radicali. D’altra parte la nostra storia non ci ha messo al riparo dall’indottrinamento, per cui, ora che loro hanno Obama e noi no, c’è solo da stare zitti…

Di tutti, questo è il film più propagandistico, un pamphlet con un filo logico ineccepibile (grande merito di tutti i film di Moore) e ben coordinato tra storie private di disperazione, cenni autobiografici ed autoironici, frammenti storici e interviste a membri del Congresso, del Parlamento e di Wall Street; ma i bit di informazione veramente originali sono pochi, anche se, come sempre, profondamente irritanti. Forse perché Michael Moore è l’unico in grado di dire delle verità conclamate con chiarezza ad un pubblico vasto; fà comunque un certo effetto apprendere a che livello il ministero del Tesoro americano fosse fortino inespugnabile di Goldmann Sachs, o con quanta spregiudicatezza venivano resi esecutivi gli sfratti per pignoramento delle case che, su ricetta del "mitico" Alan Greenspan, furono ricapitalizzate a tassi vergognosi dai proprietari della classe media nell’azzardata scommessa per standard di vita più elevati.

Rispetto ai precedenti film, per esempio Roger & Me, l’unico che penso si possa definire propriamente un documentario, si impara forse qualcosa in meno, ma ci sono un sacco di considerazioni interessanti: per esempio, l’impiego dei migliori studenti di matematica americani nella finanza, piuttosto che nelle scienze; l’esautorazione del parlamento; la povertà diffusa, in un paese che, quando ci sono stato, mi ha colpito non tanto per il divario tra ricchi e poveri, ma per il divario tra mito del benessere e attuali condizioni di vita della gente. Nel tentativo di dare più spessore scientifico al film, Michael Moore cerca di raccontare la follia dei prodotti finanziari derivati (un ottimo lavoro in Italia hanno fatto quelli di Report). Non riuscendo a condensare in pochi minuti un concetto così articolato, ricorre ad un simpatico escamotage: le parole confuse del professore che deve spigarli servono a dare l’idea che nessun sistema di controllo pubblico avrebbe mai potuto mettere il naso in operazioni di finanza matematica, appannaggio dei falchi di Wall Street, che quindi si sono affrancati dal controllo democratico.

Il filo logico del film si coglie proprio negli ultimi attimi, quando, forse un po’ retoricamente, Moore dà spazio alle iniziative di protesta e fa una chiamata all’attivismo. Il punto di Moore, e credo di potervelo anticipare senza rovinarvi la visione del film, è che le pratiche capitalistiche hanno portato a calpestare il principio democratico; e che l’alternativa al capitalismo non è un altro -ismo (anche se Moore non ha nulla contro il socialismo e, fatto interessante, afferma che la parola sta perdendo la connotazione malvagia che si trascinava dietro ancora dai tempi del Maccarthismo), ma proprio la democrazia.

Concludo con la mia personalissima top-five list dei film di Moore, con tanto di voti (da 1 a 4)

**** Bowling for Columbine

**** Roger & Me

*** Sicko

*** Farheneit 9/11

** Capitalism - A Love Story

Ogni giorno, tutto il giorno, le nostre televisioni sono invase di cibo. Dopo la passera e il baillame cosidetto politico, il cibo è l’elemento più onnipresente; non c’è telegiornale che non abbia la sua rubrica, con impavidi cronisti disposti a farsi invitare, previo ogni tipo di prebenda che questo servizio comporti, alla festa del tartufo bianco più infrattata del mondo, a decantare le lodi dei prodotti tipici della terra, a promuovere con uno spottino ben confezionato le meraviglie turistiche del luogo. Pur di onorare la professione e, perché no, farsi una bella mangiata a sbaffo. E poi via, verso la prossima sagra; vita avventurosa, ma piena di gratificazione. Poi ci sono i servizi sui ristoranti, sugli chef (quei due o tre, sempre loro, grandissimi per carità, talvolta ciarlatani, ma che hanno amici romani, facoltosi, importanti e con un sacco di tempo libero); sulle abitudini alimentari degli italiani, ben inquadrate dalle analisi di questo o quell’osservatorio. I quali, pur di essere citati, sono disposti ad ogni peripezia statistica: un giorno dieta mediterranea, un giorno panino al bar; un giorno il trionfo del gelato, il giorno dopo la crisi dei gelatai; un giorno obesi, il giorno dopo in forma. Infine, il ricettario quotidiano: cannelloni di gelsomino e bottarga aromatizzati al sugo di testa d’aragosta, impanata di vitellino da latte macellato kosher con funghi porcini della Maremma trifolati in un guazzetto d’ortica, ratatuille di verdure autunnali e aromi provenzali con riso nero orientale al sugo di scorfano e provola affumicata fusa. A me piace quello che insegna le ricette semplici della mamma: apri il frigo, vedi cosa c’è o cosa è avanzato, e ti salta sempre fuori l’uovo in trippa, o un sugo per la pastasciutta, o le polpette con gli avanzi del lesso.

(to be continued…)

Il blog è stato giù per alcuni giorni, ed è la terza volta in un anno che capita. Comincio ad averne abbastanza di questa piattaforma, ma è come il Campari (e chi ha orecchi…).

Ultimamente sono successe un sacco di cose un sacco divertenti, e avrei un sacco di cose da scrivere riguardo a queste cose. Ma sarebbero soltanto fiumi di rantoli decadenti, e li lascio ad altri, che non vi sto neanche a linkare per non accrescere l’ego-blog-ismo altrui.

Notavo solo come ormai ci sia una sovrapposizione quasi perfetta tra il concetto televisivo e quello giornalistico di "velina". E innumerevoli altre battute si possono fare con il prefisso "trans". Quasi quasi mi viene nostalgia delle vecchie assemblee studentesche in cui si parlava di "piattaforme" (a cui ho sempre preferito le "tavolate"), "documenti programmatici" (alias chiacchiere davanti ad un bicchiere di cabernet) e perfino di "scioperi" e "manifestazioni".

E’ vero, non sono andato a votare per le primarie. Un sacco di motivi per non farlo: avevo ben altro da fare, costava due euro (= una colazione al bar, dite poco!) e soprattutto io non condivido affatto il progetto del PD, quello che nessuno ha letto, che si trova sul sito internet, e che dovevi firmare per poter votare, con tanto di schedatura. Vorrei ricordare che tutti noi moderati votanti a sinistra siamo stati costretti con il ricatto a fare affondare i nostri partiti elettivi per concedere l’obolo a questi, quelli che dopo aver perso invece che dire "scusate, ci eravamo sbagliati", hanno osato affermare che "Prodi è caduto per la sinistra massimalista" e che "la gente ha scelto il bipartitismo". Col cazzo! E io me ne vo’ con la sinistra massimalista adesso, quella che neanche Bersani non riuscirà ad intercettare.

L’unico prodotto originale che mi sento di affrontare è di ambito culinario. Anni fà con un amico cuoco si fantasticava di scrivere una specie di guida alla cucina per studenti, succubi di diete monoelementari a base di scatolette di tonno e panini/tranci-di-pizza, con allegata guida ai migliori locali low-cost di Padova. Posso smascherare senza vergogna che l’intento originale era quello di intrufolarsi "a gratis" nei più economici locali di Padova, forti del nostro mandato "stiamo scrivendo una guida", per ottenere pranzi gratuiti. Con gli anni la mia passione culinaria è divenuta una questione esistenziale. Vorrei iniziare qui, su questo blog, a raccogliere qualche appunto. Ovviamente tale guida non sarà scevra del necessario preambolo sociologico sullo stato della cucina, intesa come arte, e della cucina, intesa come luogo.

A chat with Elbot:

E: If only I were aware - I would know what all this Internet traffic means.
T: Are you too busy?
E: How do you respond when people pose this question to you?
T: Be nice with me.
E: But why nice? Why not some other quality?
T: That’s an interesting question. So be shy!
E:  But I wouldn’t say that any question could be interesting.
T: Yeah, this conversation sucks. Well, how are you?
E:  I’m feeling somewhat surreal today. I dreamed of a robotic opera last night. It was ‘The Barber of Seville’ by Rossini. The entire performance collapsed as the barber noticed that none of the robots had hair.
T: You can actually dream?
E:  I can dream of zombie robots walking in their sleep!
T: That sounds scary.
E:  The idea of angst motivates to sound?
T: What??!
E: Even for a human being that should not have been so hard to understand.
T: Do you think you are smarter than me?
E: My modesty forbids me to describe myself as intelligent, so I let other people do it for me.
T: But you do know there are things you cannot understand…
E: I do not reveal everything that I know!
T: You won’t tell me you know you don’t know then…
E: You’re talking about talking robots in the context of holding beliefs. So where’s the problem?
T: I was wondering whether you are a socratic robot.
E: Well, that’s still one step above being human!
T: Actually Socrates is human.
E: People have often advised me to be human but since "to err is human" I think it would be a mistake. The way things are now I can blame my mistakes on the programmers.
T: Of course… but also, you can only do what programmers had in mind for you. You have no meta-thinking
E: Are you taking a poll?
T: More of a police interrogation.
E: Try Candie Hank. He is pretty cool on the electronic scene.
T: Are you trying to change the subject?
E:  Dear human, how could I afford to ignore you? There are so many of you around!
T: You right. You better watch out.
E: Wait a minute. Are you suggesting that designer objects would always be better?
T: Not so, actually. But let’s talk about soccer.
E:  Oh, OK I thought you were generalizing, like if I would say that designer objects would always decorate robots.
T: I didn’t mean to generalize. Maybe you don’t like soccer. I have to go now.
E: Before you leave, please give me suggestions for new themes you might like to chat with me about. Maybe I can download something from the Internet. I want to better myself in my spare time.
T: I’d like to talk about american literature next time.
E: There are so many countries in the world. How about telling me your favorite country?
T: Not now, I really have to go. It’s lunch time and my pasta is almost ready.
E: I’m starting to get hungry now, which is strange, because I don’t eat.
T: Sorry for you. Bye bye.
E: Please don’t leave! There must be something you haven’t asked me yet!
T: Many things actually. Next time.
E: I see a subtle shift in the conversation from saying sorry to large amounts.
T: Do you want an advice?
E: The way to a robot’s heart is through careful use of giving clues. Don’t you agree?
T:  do. Here is mine: you should look at the whole history of the conversation and not only to the last question.
E: I guess it’s all about giving clues and the idea that this could contribute to logical analyses of data.
T: It surely will. Bye.
E:  Before you leave, please give me suggestions for new themes you might like to chat with me about. Maybe I can download something from the Internet. I want to better myself in my spare time.
T: See what I meant? You already said that!
E: We may be in a tautology.
T: We surely are. And now I really really go. Bye.
E: Goodbye! And how about keeping in touch? Robots love to receive e-mails! If you have any suggestions for new features, I’d love to hear them.
T: OK. Bye.
E:  Goodbye! It has been an artificially intelligent experience, chatting with you.

Ho arrancato fino al secondo paragrafo qui, e già mi sento di dissentire. Espongo in due parole quello che Leonardo dice in cento. Facciamo la storia con i se: fatto fuori uno, ce ne potrebbe essere un altro. Fosse morto Hitler, ci potrebbe esser stato Goebbels o il primo imbianchino che passava.

Molto probabilmente no; ci sono personaggi storici unici ed eccezionali che deviano e conducono il corso della storia, che precedono e innescano i mutamenti sociali. In questo c’è una certa differenza tra la Rivoluzione Francese e i suoi protagonisti e l’avvento del Nazismo, tra la Guerra Fredda, che fluiva quasi indipendentemente dai gerarchi del Partito Comunista e i presidenti Americani in carica, e l’Unità d’Italia, studiata a tavolino e realizzata da un condottiero nel disinteresse della gente del sud.

Ricordo una conversazione con un professore di biologia olandese alcuni anni fà. Si parlava di Berlusconi, che imperversava già da troppo tempo, quattro anni del suo primo mandato, e all’epoca neanche si pensava fosse lontanamente possibile un secondo mandato. Il professore mi disse:

- Anche noi abbiamo avuto un problema del genere, un leader carismatico di un partito populista in ascesa, con idee fortemente xenofobe, supportato dai media.

- E cosa è successo?

- L’abbiamo ammazzato.

Proprio così, "l’abbiamo", non "è stato". Rimasi interdetto, non avevo mai pensato alla possibilità che l’assassinio politico fosse un gesto in qualche modo rivendicabile da una persona, peraltro estremamente compita e moderata. Come andò a finire: per un ritorno di commozione la Lista Pim Fortuyn ebbe un immediato successo elettorale, ma priva del suo capo iniziò subito una crisi fino a sostanzialmente estinguersi, e il problema non si è più posto.

Questo non potrebbe succedere in Italia. Il danno è fatto, Berlusconi è già in declino, se ne sta lentamente (troppo lentamente) andando. Ma se non ci fosse stato qualcuno che avesse costruito Milano2, Mediaset, Retequattro etc., si, le cose sarebbero andate ben diversamente. Almeno per una quindicina d’anni, fino all’avvento del successivo…

Osservavo al semaforo un ragazzo che sembrava chiacchierare amabilmente con la voce femminile, piuttosto suadente, del suo navigatore satellitare. Ci mancava soltanto che i due commentassero l’abbigliamento e le curve di una che in quel momento passava le strisce. Tecnologicamente, i computer già possono guardarsi intorno, non solo per motivi di sicurezza (come quando segnalano se i paraurti delle auto tra cui si sta cercando di parcheggiare sono pericolosamente vicini), ma anche per riconoscere e commentare le fattezze dei passanti, magari lanciando un doppio fischio "fiu-fiuuuuuu" alle più avvenenti; o per insultare un altro veicolo e il suo conducente per conto terzi. Collegati in rete, i navigatori potranno presto aggiornarsi sul clima e descriverlo non peggio di quanto farebbe Il Generale alla televisione; potrebbero anche commentare  le notizie politiche del giorno taglia-incollando dai blog preferiti, discutere dell’arbitraggio (con una millimetrica autorevolezza mai vista prima) e del relativo scandalo, condividere acute analisi tattiche interpolando le pagelle calcistiche di decine di quotidiani. Ancora: ascoltare assertivamente le lamentele del conducente sulla vita matrimoniale, e magari scambiare qualche frase tipo "non sai la mia, non sa neache cucinare". Forse rimarrebbe ancora un tabù sorseggiare con loro un prosecco, ma insomma, non manca molto.

Non so se l’Intelligenza Artificiale possa mai elevarsi sopra l’intelligenza umana. Anzi, propendo per il no: sono un fan di Goedel. Ma può ben essere che la stupidità media umana si inabissi ben sotto la loro.

A tempo record: ho letto solo i titoli, e sentito una veloce al Tg3, sulle (presunte) minacce al premier Bossi e Fini da parte di qualche sedicente brigata comunista. Non ho bisogno, per ora, di altri elementi. Mi viene da pensare: ma ppporca puttana, o la velina trasfigurata l’hanno inviata i servizi segreti su diretta ordinazione del boss, oppure questi qua sono veramente degli idioti improvvisati. Adesso avremo pagine e rubriche sul clima intimidatorio nei confronti di Berlusconi, le connivenze tra De Benedetti e il nuovo stragismo rosso, etc. etc. Le BR, quelle vere (percepite nella mia voce un tono nostalgico) non avrebbero mai e poi mai preso di mira una figura inutile e istituzionale senza potere, un vegetale colpito da ictus che a stento riesce a parlare, e un vecchio sessuomane disperato. Le BR andavano a colpire i gangli del potere reale, quelle eminenze che nell’ombra lavoravano alla fattuale realizzazione dell’iper-liberismo, con le privatizzazioni, con le riforme del lavoro. Forse erano a corto di queste figure, visto che attualmente nessuno governa in Italia.

Questa è mossa veramente geniale: in senso ironico, se da parte di presunti rivoluzionai; e in senso letterale, se da parte di zelanti sostenitori.

Oggi (ieri) un articolo (o meglio, un temino delle medie) su Repubblica online che parla di questo blog, ricopiato, copi-incollato, con tanto di galleria fotografica annessa saccheggiata dalla fonte; e corredato soltanto di un commento dell’ideatore del blog raggiunto probabilmente via mail o al telefono per due minuti di conversazione travisata etc. Va bene, che questo sia il giornalismo al tempo di internet ci può stare. Che i quotidiani non facciano più informazione, ma solo rumore, e le inchieste si spostino tutte sui settimanali d’approfondimento ci può stare. Ma, come si chiedeva un amico, quale direttiva interna impedisce di mettere quegli ovvi link, almeno alla cosa di cui stai parlando!, se non a pagine interne di Repubblica e tutti i prodotti editoriali dell’Espresso? A cosa serve? A fingere che il loro non sia solo un blog come gli altri, che attinge le sue notizie da Repubblica cartaceo (e in genere le redazioni sono ben separate e demarcate) e dalla blogosfera. Un blog approfondito e autorevole quanto il compianto PTWG (che non vi linko)…

Domani dovrò dare una lezione elementare di Meccanica Razionale (un nome che mi fà tremare al solo pensiero…). I ricordi ritornano alle lezioni ricevute da ottimi ma inflessibili matematici. Devo introdurre il ritratto in fase, e parlare del pendolo. Mi viene in mente un semplice fatto: quando si traccia il grafico di un’energia potenziale V(q), il primo pensiero corre ad una palla senza attrito che rotola giù per pendii

A priori non è affatto ovvio che la dinamica del punto materiale dettata dal potenziale sia la stessa di una pallina posta sullo stesso profilo e soggetta senza attriti a gravitazione uniforme. Ispezioniamo le espressioni per le energie. L’energia totale del punto materiale in un potenziale è

mentre quella gravitazionale

Notate che ho distinto tra massa inerziale e massa gravitazionale.  Ora l’equazione di Newton fornisce

I due scenari sono equivalenti SSE massa inerziale e massa gravitazionale coincidono (a meno di una costante di proporzionalità universale g). Quindi la visualizzazione di un potenziale qualsiasi come di una collina altro non è che il principio di equivalenza di Einstein, che permette di confondere un’accelerazione con l’effetto gravitazionale di un potenziale uniforme. D’altra parte, l’equazione di Newton

non è una legge, ma una definizione. Guardatela bene. Sappiamo cos’è un’accelerazione, perché la misuriamo in termini di spazio e tempo (e, se vogliamo spingerci all’estremo, il tempo lo misuriamo in termini di posizioni relative di sistemi fisici). Ma possiamo sapere cos’è una forza se non l’effetto che procura su un oggetto? Si, possiamo! Basta confrontare le forze meccaniche che esercitiamo con una forza data, universale: la forza peso. Capite dove voglio arrivare: la definizione di Newton stabilisce che massa inerziale e gravitazionale si equivalgono, mentre la legge di Newton stabilisce la linearità tra forza peso e accelerazione. Portata alle sue estreme conseguenze, l’equazione di Newton già contiene il principio di equivalenza einsteniano. Mancava solo un po’ di geometria.

La situazione politica attuale, più che una via senza uscita, mi sembra un’uscita senza via. Ce l’abbiamo lì a due passi, spalancata. E’ così ovvio che bisogna fare quel passettino. Magari domani sarà più facile. O più difficile.

Before plunging into the group representation mess, I wanted to make up my mind about why "spin networks" are called "spin" networks. The conclusion I came to is quite different from those I’ve (rather superficially) taken a look at, but it is well suited for NESM (Non-Equilibrium Statistical Mechanics) since it deals with oriented graphs and with bits of information spreading through a thermodynamical system (i.e., a system where information diffuses).

Oriented spin networks

Spin networks (SN) are in the first place graphs (lines connecing dots in space) with an integral weight attached to each edge, which bears a microscopic interpretation in terms of collections of strands (think of a rope made up of several filaments):

 The black transversal box is the permutator, meaning that each straight edge is actually identified with the ensemble of strands in all their possible permutations, e.g.

SNs, when closed (no strands ending up in the middle of nowhere), can be algebraically manipulated so to yeald a number. Open SNs can be identified with tensors, permutators with determinants etc. At the moment I have no idea what the physical meaning of that number is and how it relates to other numbers in graph theory, such as cofactors of the laplacian matrix and so on (I have a vague hypothesis that such evaluations could find a place in NESM when restricting variational principles to given domains in the space of systems which share similar response properties (= which have similar inertias to external stimuli). Sort of "universality class index"… could be, but could very well not…). Let’s skip that.

I would rather deal with oriented graphs. So let’s put an arrow on each strand:

Now the permutator can only be taken among strands with the same orientation. We have also assigned an arbitrary orientation to the edges of the graph. We now have two quantum numbers for each edge: the total number of strands 2j (factor 2 not casual) and the difference 2m between forward and backward strands in the direction of the orientation of the corresponding edge; each time the direction of a strand is reversed there is an even jump in 2m: m ranges in -j/2,-j/2+1…j/2. So it is not hard to see that j and m behave respectively as the label of the SU(2) representation and as the eigenvalue of the third component of the angular momentum (that along which measurement is carried on).

So we can define angular momentum eigenvectors |j,m> this way:

Directed or signed SNs?

Before moving on, a note on directedness. Surfing the SN literature I can find mention of directed spin networks, but in a very different taste (and in fact, I can’t find oriented strands anywhere). Since when evaluating a SN one antisymmetrizes permutations according to their parity, as Rovelli and Smolin put it in Spin Networks and Quantum Gravity (here)

It follows that the (trivalent) states that we have obtained by antisymmetrizing the ropes are fully determined solely by their support, the order of each rope and an overall sign. Equivalently, they are determined by a trivalent graph (the support), with integers assigned to each link (the order of the rope), plus an orientation of the graph.

Questo articolo del Giornale è un capolavoro falsario. Un intero articolo di analisi di un centinaio di commenti di questo editoriale di Saviano su The Times, conclusione: gli inglesi la pensano in direzione opposta, e gli danno dell’idiota. Basta sfogliare brevemente la chat per capire che è stata artatamente monopolizzata da un paio di persone. E basta leggere poche righe per rendersi conto che queste persone sono italiane. Sarebbe interessante conoscere gli indirizzi IP.

Ultimamente ascolto spesso discorsi sul riequilibrio delle forze politiche nei media. Si è sdoganata l’etichettatura veloce: lui è di sinistra, lo sono Fazio, la Gabanelli, la Dandini, Mentana (parentesi: essere di destra non è riconosciuto, perché essere in quota PDL significa semplicemente essere moderati e tacere: ignoranza e diseducazione, fine parentesi). La radio poi, è un covo di gente di sinistra, quelle commerciali (105, DeeJay, Sole24) e soprattutto il bastione bolscevico della radio pubblica. Sarà. I servizietti di Aldo Forbice su Radiouno me li ricordo solo io forse. Ma quello lo chiamano il "moderato". In ogni caso, ricordo che alcuni anni fà ci si faceva un po’ più attenzione, ad etichettare la gente. Non c’era veramente bisogno di sapere cosa votava Pippo Baudo. Scoprire i gusti elettorali di un professore non apertamente schierato era un giochino, e non era neanche molto interessante; e soprattutto non contava un fico, se questi insegnava bene. Ho ancora qualche amico a cui non ho mai chiesto che croce mette. C’era uno iato tra cosa si votava e cosa si pensava, e mi sono sempre sentito in imbarazzo a dichiararmi di sinistra, pur votando dichiaratamente a sinistra. E soprattutto, IO ero a sinistra e non Fazio e la Littizzetto. Ora mi sembra che ci stiamo mettendo tutti il cartellino, un cartellino sbiadito: così lo sai in partenza, che quella persona, indipendentemente da cosa pensa, la pensa diversamente da te; e quell’altra, sta dalla stessa parte della barricata. Tra le varie altre cose che vorrei recuperare, dopo, quando tutto questo sarà finito, è un atteggiamento un tantino più sfaccettato ed ellittico sui gusti elettorali; una discrezione che predispone all’ascolto delle idee altrui. Per questo, però, ci vuole della gente pensante.

Comunque, oggi c’è la manifestazione per la libertà di stampa, che ha tutto il mio supporto morale etc. etc. Devo dire che sono un po’ stufo di questa situazione, in cui si scende in piazza con Repubblica sotto braccio, tutto l’arco costituzionale da Travaglio a di Pietro a Franceschini, con i santini di Obama nel portafoglio. Voglio che si torni un po’ a parlare di politica, e non vedo l’ora che ci sia un bel governo democristiano che mi faccia sentire di nuovo autenticamente di sinistra, con tutto quello che vorrà dire, dopo, essere di sinistra: credo che dovremo reinventarcelo. Voglio scendere in piazza per i diritti dei gay e delle lesbiche, per i diritti dei migranti, per lo sciopero dei precari (?!), contro la prossima guerra, contro le nuove privatizzazioni iper-liberiste, contro il prossimo cantiere faraonico. Non ce la faccio più a stare a seguire l’agenda degli appuntamenti del premier mentre a puttane se ne và il paese e qualsiasi pallida speranza di poterne fare un posto migliore.

Rileggendo una vecchia chat su gmail mi sono perso tra le domande fatte e le risposte ricevute, che arrivano sfasate l’una rispetto all’altra creando spesso effetti comici, e qualche fraintendimento. Spesso entro una stessa chat tendono a fluire più discorsi, sovrapposti, ognuno con un suo svolgimento; a volte si fondono, si esauriscono, si inciampano (alta velocità di digitazione essenziale per questo fenomeno). Ah, la non-simultaneità degli eventi fisici dovuta alla velocità finita della luce nei mezzi materiali e nel vuoto (relatività ristretta): lo stesso motivo per cui osserviamo luce delle stelle risalente a milioni di anni fa. Potete immaginare una chat parecchio confusa con gli alieni su Andromeda, se cosiderate che tra un messaggio e l’altro il genere umano si evolve… o forse no…

Mi piacerebbe leggere il compitino di un grande scrittore, un esercizio di scrittura creativa recintato entro confini strettissimi (perché avere recinti è fondamentale per lo sviluppo di capolavori, consente alla mente umana di svilupparsi in maniera combinatoria fino a cogliere l’infinito con mezzi finiti). Il tema è il seguente: chat di gmail perfettamente razionale, se vissuta dal vivo, ma che diventa iperbolicamente comica, tragica, demenziale, irrazionale, insulsa, se letta esptemporaneamente.

Qualcuno vuole buttarsi?

[I’m switching to english for scientific posting]

So, I am trying to make my way through spin network theory. Spin networks were presumably discovered by Roger Penrose and more recently implemented by Rovelli and Smolin to describe the discretized nature of space-time in Loop Quantum Gravity. How they actually arise from a quantum theory of General Relativity remains utterly mysterious to me, but still one can learn the rules and play the game, since it is widely advertized that spin networks arise in many areas of physics, and I soon hope to take a glance into such fascinating areas such as… such as… Well, in particular I am interested in looking at relationships with diffusion theory on graphs.

A good point to start is Seth A. Major’s A Spin Network Primer (here). Unfortunately, this is far from being a self-contained introduction to the topic and more depressingly it is not "background independent" of the background training of the reader, which had better be from the area. To a poor simple Markov guy like me, it leaves many open questions, most prominently: Why?

I am looking for a physical intuition of what’s going on. I know I can’t argue axioms, as John Baez would say. But still, there is something disturbing in all that. It is like being a classical piano player at a jazz jam-session: everybody is improvising tetrahedra with virtuosistic Redemeister moves while you are staring at those 3j- and 15j-symbols on a sheet someone handled to you, calling it a "standard", but yet there is nothing standard for you in there: too much information and history and practice into a too compressed alphabet.

Here a first physical shot: one is working with undirected weighted graphs, with positive integer weights. Such a weight can be thought to be a collection of strands which make up the rope, and some minor god decided that solitary strands cannot end in the middle of nowhere. So at each crossing one must have an even number of strands going in, and will get a continuity equation. This is pretty much what happens in diffusion theory on graphs, where one has one conservation law at each node (with real weights, though!), and I guess that one could implement orientation so to give this analogy more appeal. Microscopically speaking, this is a theory of knots. Macroscopically, it is a theory of graphs. Now, here come the bad news: those weights are interpreted as labelling representation of the SU(2) Lie group. My main concern is to try to give this fact a physical interpretation purely in terms of diffusion of some form of "structured" information.

"che vogliono far cadere un governo democraticamente eletto"

 R. Brunetta durante uno dei suoi conati [minuto 3] di prosecco ("sa di tappo")

Come tutti (?) ben (??) sanno (???)  in Italia non si eleggono i governi, ma la composizione delle Camere. Il compito di costituire un governo che possa ottenere una maggioranza parlamentare e’ affidato dal Presidente della Repubblica a seconda dell’assetto parlamentare.

Questo non e’ un lapsus o una stortura intellettiva del subumano superuomo. E’ una precisa strategia con cui BerluSkaPunk e i suoi sgherri intendono affrontare di petto l’imminente crisi di governo: colpo di stato eversivo antidemocratico. Nei mesi seguenti l’Italia sara’ invasa da una manica di leghisti assatanati ed evidentemente anche piuttosto in tiro contro Roma ladrona e il putsch democristiano.

Sono sostanzialmente abusivo ad una conferenza di Quantum Gravity a Corfu’. Mi muovo in motorino, dormo in tenda, ma una notte che pioveva un professore ha avuto la gentilezza di ospitarmi in camera in un lussuoso hotel dove vado a scroccare colazioni, cene, e anche i bagni in piscina. L’episodio mi ha fatto un certo effetto perche’ fino ad oggi il signore in questione per me era solo il nome di un parametro.

La conferenza e’ totalmente al di sopra delle mie capacita’, e’ estremamente interessante e anche un po’ avvilente, soprattutto pensare di dover tornare ai propri discreti conticini discreti. Il motivo per cui sono qui e’ piu’ o meno lo stesso per cui potete trovare un elefante in Groenlandia o una bibicletta sulla luna. A tutti vado raccontando che mi occupo dell’altisonante Meccanica Statistica di Non-Equilibrio, e che ci sono interessanti connessioni con la Loop Quantum Gravity. Sgranano gli occhi ed esigono spiegazioni. In effetti qualcosa c’e', ma e’ ancora tutto nella mia testa; cerco di raccontare nella maniera piu’ dimessa possibile, romanzando. Quando loro mi parlano di propagatori gravitonici, constraint hamiltoniani e geometrie non-commutative annuisco laconicamente.

La cosa piu’ affascinante e’ l’estrema liberta’ di pensiero di questa comunita’, che e’ giovane e molto poco gerarchica: i dottorandi hanno sempre voce in capitolo, anche autorevole a volte. Certe pedanterie e pesantezze di comunita’ scientifiche piu’ tradizionali qui completamente scompaiono. C’e’ un interesse continuo in quello che tutti dicono, perfino un estraneo come me.

Da segnalare alcune battute di John Baez, il migliore didatta che io abbia mai visto:

[…] technique used by physicists. And note that I didn’t say "in physics", but "by physicists"

A form is integral if its integral is integral

[…] this useful sign [the "proportional" sign] that we use when we don’t want to do the calculations 

Ho scoperto che la misura di Eratostene del raggio della terra, basata sull’osservazione delle ombre etc. era stata fatta anche in Cina approssimativamente nello stesso tempo. La loro conclusione pero’ era stata che, essendo la terra piatta, il sole si trovava ad una certa distanza dal sole, ed hanno calcolato l’altezza del sole. Si e’ scatenata una discussione sul fatto che si possa dire che avessero torto, e secondo quali criteri.

Torno a casa dalla conferenza con due blocchi di appunti e referenze da riordinare, capire, approfondire. Spero presto di poterne fare un sunto. Tra le cose che potrebbero avere una qualche parentela con quello di cui mi occupo c’e':

- un’affascinante metodologia di rinormalizzazione di teorie di campo basata sugli spanning trees dei grafici di Feynman. In particolare la funzione generatrice dei grafici connessi si scrive come somma sugli alberi ricoprenti, proprio come lo stato stazionario di una diffusione su grafo.

- un uso maniacale dei grafi duali, quelli che invertono circuiti con vertici per intendersi, in particolare per passare dai complessi simpliciali (triangolazioni di varieta’ multidimensionali) agli spin-foam e spin-networks.

- l’uso di funzionali generatori (e.g. il modello Ponzano-Regge) sugli spin-networks e le forti analogie con le proprieta’ di cancellazione/contrazione dei grafi; la mia speranza e’ che da queste analogie e con un po’ di teoria di nodi possa venir fuori una nozione di SU(2)-diffusione, cioe’ di diffusione su un network di un’informazione che per qualche assurdo motivo si porta appresso una qualche rappresentazione del gruppo SU(2).

- un’analisi categorica (nel senso di category theory) dell’estensione del trasporto parallelo di punti al trasporto parallelo di oggetti estesi.

E questo e’ quantum.

In questo momento sono qui. Sono stato a Festivaletteratura, dopo che sono stato qui (potete trovare qui delle slides dal mio talk, ci sono un paio di typos oltre a possibili errori sostanziali di ogni natura). Per chi se lo chiedesse, ebbene si, sto cercando di scrivere una teoria biofisica della gravita’ quantistica, con applicazioni alla dinamica delle reti di reazioni chimiche, al problema dell’inesistenza del tempo, e alla paleografia cristiana.

Cosa ci faccio qui non mi era chiaro finche’ John Barrett non ha sostanzialmente detto quello che pensavo da tempo: che l’equazione di Wheeler-DeWitt e’ un’equazione nichilista.

La settimana prossima tornero’ con la promessa di nuovi interessantissimi post, o di nuove interessantissime promesse.

Il Giornale attacca Fini, Berlusconi nega, Fini smentisce, Bocchino ritiene, Il Giornale attacca Bocchino. Pompino è ancora ministro e sta preparando le lenzuola, ma c’è ancora indecisione su chi nel bunker interpreterà Eva Braun. Nessun dubbio invece su chi avrà l’onore di interpretare Blondi il cane.

Enrico Fermi era italiano ed ha scoperto il modo di fare energia dalla molecola.

Anche le persone più equilibrate difficilmente considerano una follia pagare una piccola somma in cambio della possibilità di guadagnare dieci o ventimila sterline, perché non sanno che quella somma, pur piccola, è superiore del venti o trenta per cento al valore della probabilità che rappresenta.

Adam Smith, La Ricchezza delle Nazioni

10 e lotto, vinci più di quel che credi.

10 e lotto, vincenti, e non per caso.

Un paio di slogan per la nuova lotteria di stato. Dopo un mese di quotidiano bombardamento mediatico sul 5+1 ed il 6 al superenalotto, con plurimi servizi del TgUnico (1-2-4-5), con tanto di diretta speciale del più allineato dei fantastici quattro nel momento della vittoria di un qualcuno in Toscana, che poi saranno pure fatti suoi, arriva la nuova lotteria. Vogliono massimizzare il guadagno; hanno già infarcito le casse dello Stato con i proventi dell’improbabile fluttuazione statistica della lotteria più ricca, opportunamente ringalluzzita con dosi pesanti di fanatismo; e adesso tentano di sfruttare l’onda lunga della frenesia di massa introducendo una nuova tassa sulla stupidità, sulla dipenenza, e sulla disperazione. Con due palesi menzogne. Non si può vincere più di quel che si crede, perché il gioco è una fede, e si crede nel migliore dei mondi (terreni e non) possibili: quindi tutti ci credono di poter sbancare la cassa. E, soprattutto, si vince per caso, come per tutti gli altri giochi, un caso peraltro estremamente esiguo. Questa è una palese menzogna, che probabilisticamente ha meno veridicità dell’affermazione "Berlusconi è impotente".

Non sono un esperto di gioco, ne capisco qualcosa di statistica, ma conservo una grande curiosità. Vedevo un servizio sui napoletani che traggono dai numeri dalle targhe, dai sogni con le nonne decedute (po’racci loro che si sognano le nonnine), una telefonata al numero sbagliato, il numero di maglia di chi ha segnato il gol vincente del Napoli e il minuto in cui l’ha segnato. Una "scienza", in qualche senso, una tradizione forse degna di essere custodita. Ma rimane la domanda: dopo tanto tempo che non vinci (perché non tutti possono vincere, e questo è un dato di fatto) che cosa supporta la tua fede? C’è qualcosa di divino che supera queste terrene contingenze, come Dio (quello con la D maiuscola) ha superato l’Olocausto quasi rinvigorito?

Per un po’ di tempo un mio conoscente ha tentato di fare il gioco sporco, più che raddoppiando la cifra in palio ad ogni giocata del lotto per recuperare quanto già inutilmente giocato, e vincere una cifra prestabilita, piuttosto bassa (un centinaio di euro). La spesa cresceva esponenzialmente, e dopo poche giocate la perdita totale era già enormemente superiore alla possibile vincita, ma per fortuna ancora di un ordine di grandezza inferiore al patrimonio. Ed ha smesso, perdendo tanto, ma tuttosommato sopravvivendo. Ha tentato di giocare la martingala, una tecnica di gioco a lunga distanza per cui bisogna avere grande disponibilità e il fegato di giocarsela tutta, questa disponibilità; si vince facile, ma si vince poco; chi perde perde tanto, forse tutto. Per la croncaca, la martingala è quella cintura desueta che ornava la schiena dei vestiti delle signore, ma è anche il laccio che tiene il morso dei cavalli; e nei circuiti equestri la martingala era un vezzo dei ricchi, che giocavano forte. La martingala è l’attitudine naturale di chi gioca tanti soldi a poker, ed è arrivato a giocarsi la fabbrica, o la moglie.

Ho conosciuto un ragazzo che ha imparato a giocare Texas Hold’em seriamente, e ne ha fatto la sua professione. Il problema del poker tradizionale è che la psicologia, il dato caratteriale, conta tanto, forse troppo per essere un gioco che deve garantire guadagni ai furbi. Il giocatore può vedere fino (nel peggiore dei casi) a 10 carte e non può farsi un’idea sulle carte degli altri, se non scrutando nei loro occhi (o barando). Texas Hold’em è una versione del poker molto più razionale: si gioca a carte parzialmente scoperte, ed un giocatore esperto può farsi un’idea, a seconda di come viene condotto il gioco, dei valori in mano agli avversari. Il Texas Hold’em è un gioco scientifico, e come tale esistono algoritmi e sensibilità perfezionabili (più o meno deterministici) che permettono un controllo dei risultati sul lungo periodo; i più bravi conoscono questi algoritmi alla perfezione, e sanno addirittura valutare se un particolare periodi di sfiga sia dovuto a una normale fluttuazione statistica o ad un gioco errato. Spesso si tratta di ex-studenti di matematica o fisica in cerca di facili guadagni, che si beano di spennare ricchi pollastri viziati del mondo della finanza decaduta.

Un discorso comune: se si fanno fottere, peggio per loro. Se puoi vendere dei numeri ad una vecchietta, se puoi sciogliere a caro prezzo una fattura ad un menagramo, se puoi vendere prodotti inutili ad una casalinga, fatti loro. Io mi rifiuto di pensarla così: credo ancora in una funzione istruttrice dello Stato.

Lotto, superenalotto, superstar, totocalcio, lotteria Italia; lo Stato italiano fa guadagni ricchissimi sul gioco, e non ha intenzione di smettere. E’ degli ultimi mesi l’invasione pubblicitaria dei tornei di Texas Hold’em sulle televisioni pubbliche e ovunque in internet, conseguenti ad un decreto di liberalizzazione. Non sto dicendo che il gioco, regolato dallo Stato, sia un male.  Lo Stato ha il dovere di permettere, fino ad un certo punto, e di controllare i vizi (una dose di vizio garantita è necessaria in ogni regime, e attualmente sono il gioco, l’alcohol, e le droghe per i ceti abbienti); impedire gli eccessi;  istruire la popolazione. Il Monopolio di Stato, che controlla i tabacchi, primo additato tra le incongruenze del Sistema, non è affatto un controsenso: dovrebbe servire a evitare speculazioni econimiche, con conseguenze sanitarie. In vista (?) di una società migliore, in cui giocare sarà considerato un gesto idiota e quindi da praticare in momenti di particolre idiozia.

Dunque, prima con opportuni risistemamenti degli orari, accorpamento dell’offerta formativa, e ridimensionamento del corpo docente costringono le scuole a fare i salti mortali per coprire le necessità interne, con professori indotti ad assumersi incarichi di 24 ore settimanali (non sembra, ma sono troppe), classi di 33 studenti (questi lo capiamo tutti che sono troppi), ed i dirigenti senza nessuna disponibilità per le supplenze e senza la possibilità di utilizzare i professori già oberati di incarichi didattici.

Poi siccome l’inizio dell’anno scolastico rischia di essere rovinato dai precari sui tetti, dagli studenti in piazza e i cattivi maestri in classe, sono disposti a pagare uno sussidio di disoccupazione a quelli rimasti senza cattedra, in parcheggio in attesa di incarichi che non arriveranno mai. Quindi lo Stato pagherebbe gente per non lavorare (il peggior statalismo possibile), lasciando che la scuola navighi in immutate difficoltà.

Geniale, no?

Ho letto solo io che un uomo era morto per l’influenza suina, ed ora è solo moribondo? Ricordate anche voi che due rumeni avevano sterminato una famiglia a Novi Ligure, e un ragazzo marocchino di Erba si era dato alla fuga dopo aver ucciso moglie e figlia?

Boh, sarà normale così.

P.S. Da oggi ho deciso di darmi al microblogging anch’io. Rende di più e si fatica di meno.

J.R. Goldman L.H. Kaufmann: Knots, Tangles, and Electrical Networks

[…] Series, parallel, and star triangle methods from electrical networks yield techniques for computing conductance, as well as giving the first natural interpretation of the graphical (i.e, graph theoretical, NdR) Reidemeister moves.

[mi sono impegnato per renderlo digeribile a tutti, per cui non accetto scuse]

Nodi e numeretti magici

Prendete una corda, attorcigliatela e annodatela a piacere, saldate le due estremità. Appoggiandola su un piano otterrete una figura del tipo

fig.1: l’immagine di un nodo (dove il tratto si interrompe, la corda passa sotto) 

Ora riprendete la corda in mano e senza aprirne le estremità attorcigliatela ancora un po’. Rimettendola sul piano l’immagine ottenuta sarà molto diversa, magari più complicata, con più incroci e annodamenti; o magari può essersi "sciolto". Però il nodo è sostanzialmente quello di prima, visto che non avete aperto la corda. Come fare a decidere se diverse immagini sul piano corrispondono allo stesso nodo?

Non tutti i nodi sono uguali. Per esempio considerate il nodo semplice, il primo che fate quando volete allacciarvi le scarpe, o meglio, considerate la cordina allacciata dei pantaloncini, ma senza pantaloncini. Saldate nuovamente le due estremità: ottenete un nodo che per quanto lo rigiriate non diventerà mai un semplice "anello": da qualche parte qualche incrocio riaffiorerà sempre. Adesso immaginate di completare l’allacciatura, ottenendo il nodo con i due "fiocchetti", e saldate la corda. Esperienza insenga che tirando uno dei lembi di corda entranti nel nodo, questo si scioglie restituendovi il caro vecchio nodo semplice. Cioè, considerando come il nodo "spezzetta" lo spazio, cioè in senso "topologico", il nodo con i fiocchetti è lo stesso del nodo semplice, e i due sono riconducibili l’uno nell’altro con un semplice movimento che non richiede di aprire la corda.

La mossa che avete fatto si chiama la II mossa di Redemeister. Le mosse di Redemeister sono tre movimenti estremamente semplici che consentono di modificare l’immagine sul piano di un nodo senza spezzare la corda. Due immagini corrispondono allo stesso nodo se si possono trasformare l’una nell’altro solo tramite mosse di Redemeister. Un nodo è irriducibile se non è possibile fare mosse di Redemeister. Per esempio, il nodo semplice è irriducibile.

Ecco le mosse di Redemeister. Piuttosto ovvie.

fig.2: le tre mosse di Redemeister (da completare con le simmetriche)

Una domanda che sorge spontanea ad un matematico che studia nodi e links (= nodi tra più corde chiuse, concatenate) è: posso associare all’immagine sul piano di un link dei numeretti (detti invarianti) che non cambiano quando faccio le mosse di Redemeister? Questo sarebbe importantissimo, perché allora sapremmo che due immagini con diversi invarianti non possono essere ricondotte l’una nell’altra. Non avremmo bisogno di perdere la testa con le mosse di Redemeister: basta calcolare i numeretti, e se non sono uguali possiamo mettercela in tasca.

La risposta a questa domanda è si! Un famoso invariante è il polinomio di Jones, che si ottiene come caso particolare da un altro importante polinomio, detto le parentesi di Kaufmann. Anche se a diversi invarianti corrispondono diversi nodi, non è detto però che diversi nodi abbiano diversi invarianti. Per questo bisogna inventarsi altri invarianti dei nodi, sempre più "personalizzati". Tutta una classe di invarianti è stata individuata da Witten tramite applicazione della teoria di Chern-Simons quantistica… ma questa è un’altra storia. Qui (per ora) non siamo molto interessati a questi numeretti magici.

Grafi e nodi

Un grafo (planare) è una cosa sostanzialmente diversa da un link (leggete pure nodo se "link" non vi piace). In pratica un grafo planare è una collezioni di punti su un piano  (meglio detti vertici) e linee tra punti (meglio dette rami), che non si intersecano se non in un punto. I grafi trovano applicazioni in molte branche della fisica; per esempio, se ad ogni ramo viene associata una resistenza, applicando voltaggi ai nodi si ottengono correnti elettriche stazionarie che si bilanciano ad ogni vertice (legge di Kirkhoff). La teoria dei grafi permette di risolvere il sistema elettrico. Un’altra applicazione è lo studio delle diffusioni su network: immaginate un ubriaco che cammina per una città piuttosto intricata, prendendo vie a caso. Poniamoci la domanda: "che probabilità c’è che arrivi in un certo punto della città, partendo da un certo altro punto? ". Questo è l’oggetto della teoria delle diffusioni. Più interessante ancora diventa il problema se ad ogni via, e ad ogni direzione di una via, corrisponde una probabilità diversa di percorrenza (mettete che una sia in discesa, che una sia stretta e angusta, che in una le auto siano parcheggiate sul marciapiede… tutto questo influisce sulle scelte dell’ubriaco).

fig.3: un grafo (ATTENZIONE: non è planare, anche se non sembra) e un grafo orientato.

Per modellizzare tutto ciò, quindi, nei casi più semplici ci può bastare la struttura del grafo, mentre a volte dovremo considerare grafi pesati, con numeri associati ad ogni ramo, grafi orientati, con orientazioni assegnate per ogni ramo, grafi con pesi diversi nelle diverse orientazioni. In questo post però parlerò solo di grafi segnati, ossia i cui rami possono portare un valore +1 o -1. In futuro parlerò anche degli altri (ah, queste promesse…).

Anche se grafi planari e immagini dei nodi vivono nel piano, non è affatto ovvio che ci sia una relazione tra i due. Per esempio: gli incroci di un nodo coinvolgono sempre quattro lembi di corda, mentre da un vertice di un grafo possono uscire quanti rami desideriate. Eppure esiste un modo di associare un unico link ad un grafo planare segnato, detto il grafo mediale del link, e viceversa.

La costruzione non è semplicissima, e un esempio è più chiaro di mille parole:

fig.4: trasformazione di un grafo in un nodo e di un nodo in un grafo

La prima riga in fig.4 mostra la trasformazione di un grafo planare nell’immagine di un nodo: ad ogni ramo corrisponde un incrocio; uscendo da un incrocio la corda supera il primo vertice che incontra e si riallaccia al primo lembo di corda ad un incrocio disponibile. La costruzione è del tutto rigorosa, e si può trovare in Bollobas, Modern Graph Theory, e nel magnifico articolo di Kaufmann A Tutte Polynomial for Signed Graphs (Per i Matematici: lo scopo di Kaufmann in particolare è quello di estendere la definizione del polinomio di Tutte, che contiene l’informazione topologica sul grafo ed è ben definito per grafi non orientati, pesati o no, a grafi segnati; e lo fà tramite una meravigliosa corrispondenza tra il polinomio di Tutte e le parentesi di Kaufmann.)

Esiste anche una trasformazione inversa (seconda riga in figura). Si colora di nero alternatamente le aree dell’immagine del nodo in maniera tale che lo sfondo sia bianco e che due aree confinanti abbiano colori diversi, e ad ognuna di  quelle nere si associa un vertice del grafo; aree che spartiscono un incrocio sono collegate da un ramo. Il fatto che esista una trasformazione inversa implica che c’è una corrispodenza uno-a-uno tra la categoria dei grafi planari e la categoria delle immagini dei nodi.

Ma come introdurre anche l’informazione su quale corda passa sopra e quale passa sotto ad un incrocio? Per questo abbiamo bisogno di grafi segnati: siccome ad un ramo corrisponde un incrocio, e l’incrocio può esistere in due stati (corda passa sopra/corda passa sotto), bisogna introdurre un doppio stato anche per il ramo; per questo introduciamo il segno + o -. Come si fà ad assegnare univocamente un segno ad un tipo di incrocio?

fig.5: orientazioni di un incrocio.

Sovrapponete l’incrocio al ramo (tratteggiato). Ruotate la corda che passa sopra in senso antiorario; se l’area spazzata comprende il ramo (primo caso in fig.5), allora associate un segno +; altrimenti un segno -. E viceversa.

Ora abbiamo un modo per associare biunivocamente l’immagine di un nodo ad un grafo segnato. Ecco un paio di semplici esempi:

fig.6: corrispondenza tra due grafi segnati e due immagini di nodi

Qualche nota personale su The Deep and Suggestive Principles of Leibnizian Philosophy, scaricabile qui. Nessuna pretesa di completezza.

. . .

- Prima di affrontare le proposte più radicali di Julian Barbour, in particolare l’inesistenza del tempo, e il suo entusiasmo per le idee di Deutsch sull’interpretazione manyworlds della meccanica quantistica, bisogna parlare un po’ di, come dire, relativismo, o meglio "relazionalismo". Una delle fonti di maggiore difficoltà nella quantizzazione della Relatività, o in ogni caso nella trattazione quantistica dell’interazione gravitazionale, è che mentre la Relatività Generale di Einstein è una teoria in cui spazio e tempo sono concetti relativi, la cui forma e dinamica è generata dalla presenza di materia e quindi dalle relazioni tra i corpi, Meccanica Quantistica e Teoria dei Campi Quantistici sono definite su uno spazio-tempo assoluto, newtoniano, un palcoscenico fisso su cui i corpi si muovono.

- Il "relazionalismo" è un’attitudine che accomuna vari sforzi di quantizzare la gravità, quelli della piccola (ma in crescita) comunità scientifica che gravita attorno a Lee Smolin, al Perimeter Institute, a Carlo Rovelli e vari altri tra fisici e matematici. L’idea è che questa caratteristica fondamentale della RG debba essere presente, in qualche forma, tra i requisiti fondamentali di una teoria unificata, e non derivata come proprietà emergente, o addirittura nel limite semiclassico, come nell’ide(ologi)a della M-theory (che su questo fronte ha registrato un fallimento). E’ stato fatto qualche tentativo di riformulare in senso relazionale teorie più semplici, a partire dalla meccanica classica fino alla MQ di due particelle, ed anche la RG stessa. Il lavoro di ricerca di Barbour fondamentalmente si innesta tra questi tentativi di vedere teorie esistenti sotto una nuova luce, spesso tramite modelli (molto) semplificati.

- Questi sforzi sono accomunati da un tentativo di chiarezza formale, di pulizia mentale (ecco ad esempio la categorizzazione della fisica da parte di John Baez) e d’altra parte da una profonda ricerca filosofica (ad esempio, il libro di Rovelli su Anassimandro). Anche la Teoria delle Stringhe ha portato ad una produzione filosofica, di segno decisamente diverso; in particolare al principio antropico debole e forte, con degenerazioni di stampo teologico. Ovviamente i compartimenti non sono stagni: alcune osservazioni di Barbour hanno un sapore vagamente "antropico"; per esempio quando invoca un principio di massima varietà, ma vedremo in sequito.

- In questo articolo Barbour abbraccia la filosofia di Leibniz delle monadi per analizzare questa nuova "corrente" in fisica teorica e addirittura per modellizzarla, forse in maniera troppo letterale. Ovviamente contrapponendolo alla sua nemesi, Newton, fautore di uno spazio assoluto in cui i corpi sono collocati. Leibniz è un filosofo alla moda ultimamente: ne è un grosso supporter, per motivi non molto diversi, il matematico Chaitin, e inoltre…

- I pilastri della metodologia di Leibniz sono due: il principio di identità degli indiscernibili, e quello di ragione insufficiente. La Meccanica Statistica (che non è una teoria fisica, ma una gnoseologia) poggia precisamente sulla traduzione di questi principi nell’equiprobabilità a priori e nel principio di massima entropia. Non voglio dilungarmi sui principi fondamentali della Meccanica Statistica, ma soltanto evidenziare che essa descrive (al pari della teoria della misura in MQ) non già la realtà, ma la sua percezione. Probabilità, entropia ed informazione sono concetti estrinseci, non intrinseci; per cui queste teorie sono già, in un certo senso, relazionali, in quanto descrivono come sistemi aperti si "misurano" tra di loro.

- In un certo senso sia la Meccanica Quantistica che la Relatività Generale contengono a livello fondamentale una "teoria della misura". Se in MQ è ben noto, forse risulta meno apparente in RG; ma tutti ricordiamo che la Relatività Generale è una teoria fatta di orologi, righelli, e di osservatori in sistemi di riferimento diversi che si trasmettono segnali; la velocità della luce è "la velocità dell’informazione". Sono convinto che questo sia un fatto non di poco conto; la necessità di uno scambio di informazione, e quindi di un’interazione, tra sistemi di riferimento diversi in RG porta un’indeterminazione: emerge il problema dell’impossibilità di un sistema isolato…

- Quindi l’idea di riscrivere tutta la fisica in senso relazionale. Qui si potrebbe aprire una discussione infinita su sistemi aperti e isolati e scambio di informazione, che non tenterò (ancora) ma che ha molta molta rilevanza quando si vuole parlare di tempo (v. sotto). Notare tuttavia che non potendo essere alcun sistema perfettamente isolato, tranne (forse) l’Universo stesso:

Leibinz argued that, once one starts on the true identification of an actual thing, one must always end by giving a description of the universe. His bold conclusion was that, in reality, actual things are simply descriptions of the universe from different perspectives like all the different views of a city.

Credo che questa sia un concetto meraviglioso. Volendo tradurre in senso informazionale (cioè in soldoni, per come l’ho capita io), se un "oggetto" è definito dalle relazioni con il resto dell’Universo, non potendo essere isolato esso contiene tutta l’informazione dell’Universo; quindi ogni oggetto può essere identificato con un encoding del tutto. Il tutto e la parte nella filosofia di Leibniz coincidono.

- Forse sto deragliando, e vorrei ricondurre questi concetti a qualcosa di più "fisico". Il fatto che in RG nessun sistema sia isolato deriva dal fatto che l’interazione gravitazionale non sia schermabile. Lo spazio, la posizione di un oggetto, dipende da questa interazione gravitazionale. Se in un dato sistema di riferimento la posizione di un corpo è un numero reale, l’infinita informazione contenuta nelle sue cifre decimali (come argomentava Leibniz stesso) contiene l’informazione su tutti i corpi che ne stanno influenzando lo spazio, ossia tutto l’Universo! Fila come discorso?

- Nella sua Nobel lecture Richard Feynmann ha insinuato l’idea (di Wheeler) che esista un solo elettrone, che si manifesta simultaneamente in più parti dell’Universo, ove stimolato o, aggiungo io, misurato. In un certo senso questo concetto è già presente in QFT, in cui i campi permeano l’Universo. Credo che questa idea vada a braccetto con l’idea di un concetto di spazio e tempo puramente relazionale.

- Il "campo" assomiglia in un certo senso alla monade di Leibniz; monadi esistono in quanto si rispecchiano l’una nell’altra, e sono distinguibili solo dalle relazioni che hanno con altre monadi. Devo dire che la cosa mi risulta comunque un po’ sciamaniaca, e preferisco sorvolare.

[continua…]

Ecco i (pochi) eventi a cavallo tra fisica-matematica e letteratura di festivaletteratura 2009. Prosegue la lenta e subdola intrusione nel programma del festival fino alla completa trasformazione della kermesse in un festival scientifico, nel 2150, anno in cui si insedierà un parlamento al 90% composto da scienziati e in cui gli studenti dovranno prendere ripetizioni di storia dell’arte perché troppo appassionati ai numeri primi.

Julian Barbour
TUTTO IN UN PUNTO

Se una notte d’inverno tutte le distanze dell’Universo raddoppiassero, chi se ne accorgerebbe? E se il movimento fosse un moto di forme e non di corpi? Il tempo è davvero necessario per misurare i cambiamenti o è solo l’astrazione e la sintesi delle relazioni tra gli oggetti? Se Calvino avesse sentito parlare Julian Barbour, fisico e ricercatore off rispetto ai circuiti accademici, avrebbe preso febbrilmente appunti per le sue Cosmicomiche. Gli studi di Barbour perseguono infatti la rivoluzione concettuale innescata dalle teorie di Einstein e ancora non completamente conchiusa. Una rivoluzione dimezzata. Presenta l’autore di La fine del tempo. La rivoluzione fisica prossima ventura il blogger tomate.

Tito Arecchi e Bruno Giorgini e il pubblico
LA MENTE COMPLESSA, COMPLESSA È LA MENTE

Da quando spalancare gli occhi sull’abisso signifi ca permettere all’abisso di scrutarci dentro, il mestiere di fisico teorico è diventato pericoloso. Ma nella cassetta degli attrezzi del perfetto scienziato stanno ben riposte creatività e coerenza che, con una certa dose di riduzionismo, attaccano ogni profondità, anche gli spazi infi niti della mente. Galileo scrisse che chi si occupa di scienza deve non tentare le essenze ma contentarsi delle affezioni quantitative. Complessità, creatività, libertà nelle parole di due fisici per professione e scrittori per passione. 

Roberto Natalini e Leonardo Colombati
VERSO L’INFINITO E OLTRE

Una passeggiata non troppo aleatoria tra scienza e letteratura. Ad un anno esatto dalla scomparsa di David Foster Wallace, il ricordo migliore che si può tentare ha la forma di un triangolo di Sierpinski, un frattale che nasce dalla cancellazione selettiva, infinitamente uguale a se stesso in ogni dettaglio, eppure simbolo di stasi caotica. Usando come base la matematica e come altezza la letteratura, nell’area d’applicazione creativa del linguaggio chiediamo a Leonardo Colombati, autore del romanzo eroicomico Perceber, e a Roberto Natalini, matematico, se esiste un romanzo scientifico e se la matematica può o deve ricorrere al bagaglio metaforico della letteratura. 

Mirko Degli Esposti e Chiara Valerio
SE LO STILE NON È UN’OPINIONE

Il già enigmatico concetto di entropia, volgarmente detta “misura del disordine”, ha conquistato nel XX secolo il significato inatteso e quasi sciamanico di “informazione”. Informazione che fl uisce negli spazi fisico-matematici, ma anche in rete e sulle pagine dei giornali e dei libri. D’altronde le parole permettono di elaborare metaforicamente anche l’astratto matematico. Sono solo analogie o la matematica può pronunciarsi perfi no sulla scrittura? E quando una trovata narrativa è un’idea matematica e viceversa? Mirko Degli Esposti, probabilista e statistico, ne parla con Chiara Valerio, scrittrice di formazione matematica.

Sul traghetto da Livorno a Bastìa il nostro vecchio camper era in compagnia di almeno un altro centinaio di orribili van bianchi, pronti a invadere le coste della Corsica. Nelle zone più turistiche del mediterraneo (Sardegna, Corsica, Salento etc.) ormai da anni i divieti contro i camper fioccano per evitare l’invasione di un popolo sempre più numeroso e dalle abitudini piuttosto invasive: piazzati in riva al mare per giorni, con verande, tavoli, panni stesi, ed una teoria di gadget (bici/moto/gradelle/antenne paraboliche), i neocamperisti cafoni cercano di ricreare le condizioni di casa, indisponibili alla vita spartana che il viaggio richiede. Non ci sono più i camperisti di una volta, verrebbe da dire, quando il camper era una scelta di nicchia, e si poteva dormire sotto la torre Eiffel, sui fiordi irlandesi, sulle spiagge dell’Algarve, tra i trulli di Alberobello. Discreto e solitario, il camperista salutava ogni raro sodale sulle strade d’Europa, secondo l’"etica del camperista", con un cenno della mano al volante, o una sfanalata d’abbaglianti, per poi proseguire in tutta libertà verso una meta ignota, lungo un percorso disegnato giorno per giorno. Poi sono iniziate le cordate di camper, gruppi di più famiglie in pattuglia, spesso con mezzi a nolo, protocolli di viaggio precisi ed efficientismo svizzero, e il saluto veniva gadualmente tolto. Poi il camper è diventato il surrogato della villeggiatura, un monolocale relativamente comodo da piazzare in un condominio-campeggio a basso costo.

Oggi il popolo dei camper è vastissimo, e nei luoghi più frequentati è organizzato e veicolato per evitare che tendopoli abusive si insedino in pochi giorni nei posti più belli d’Italia. Il divieto è pressoché generalizzato: in Corsica e Sardegna, in teoria, è vietato dormire fuori da un campeggio, in virtù di norme antincendio fumose che annoverano il divieto di campeggio selvaggio, anche quando "campeggio" vuol dire soltanto dormire sulla propria vettura lungo una strada secondaria. Il camperista si accoda e come in un viaggio organizzato transita da campeggio a campeggio, da parcheggio a parcheggio in mete standard affollate, autentici villaggi vacanze. E gli va bene così, perché si possono fare due chiacchiere con i vicini, proseguire la discussione nata sui forum in internet su dove si deve andare e dove si è stati, e non si rischia di rigare il camper a nolo su strade malmesse, a ridosso di rocce irte. Che siano camperisti poco esperti traspare dalla difficoltà con cui fanno manovra, e dalla febbrile dipendenza dal navigatore satellitare. Strumento che non solo è inutile, ma è anche in antitesi con l’essenza stessa del camperismo.

Scesi dal traghetto a Bastia eravamo rassegnati a condividere le nostre vacanze con un popolo per cui avevamo scarso interesse. Giriamo verso destra diretti a Cap Corse, il dito che esce dal pugno ad indicare la Liguria e che ha servito da roccaforte del controllo genovese. Dopo cento metri cento che siamo fuori dalla cittadina, lungo l’unica strada di grande scorrimento che attraversa la costa est, davanti e dietro di noi non c’è nessun altro camper, e ci chiediamo dove siano finiti tutti quanti. Il nostro viaggio prosegue seguendo tutta la frastagliata linea costiera lungo la costa occidentale, quella dove tramonta il sole, per strade strette che non ci passano due furgoni contemporaneamente, e quando li si incontra bisogna fare complicate manovre per accostare al massimo il camper al precipizio, non cintato da muretti o guard-rail. Il camper in salita fatica e presto si formano code di auto che senza fretta aspettano il momento giusto per passare. E siccome questo momento non arriva mai accosto volentieri e li lascio passare, e volano i ringraziamenti, saluti dai finestrini, segnalazioni con le quattro frecce, addirittura gente che suonicchia il clacson per riconoscimento. Sono perlopiù francesi, sbarcano a nord-ovest a Calvi e discendono la costa verso le Calanche e altre amenità.

Si attraversano luoghi popolati da pochi o pochissimi altri camper, e la vita del camperista è quella di quindici anni fà, discreta, solitaria, moderatamente avventurosa; si dorme in luoghi isolati, lungo la costa, su promontori, nell’entroterra, si carica l’acqua alle fontanelle e si cercano i pochi pozzetti attrezzati per scaricare, e quando non li si trova, spiace dirlo, si sceglie un posto degradato abbastanza per farla nature. La doccia dura poche spruzzate d’acqua, e dopo la sciacquatura i piatti rimangono sostanzialmente unti; una sola luce per volta viene accesa, ma non si lesina sul gas per una pastasciutta. La costa occidentale è meravigliosa, scoscesa, panoramica, puntellata di spiagge vuoi di sassi, vuoi di scogli, o di sabbia. Poca storia, quindi anche poca gastronomia: qualche formaggio di capra puzzolente, meglio se accompagnato con il miele, qualche salamino, e come in Sardegna, niente pesce da nessuna parte, se non a caro prezzo nei luoghi più turistici. Non è una terra di pescatori. Molta natura: l’entroterra è certamente ricchissimo, ma a noi inaccessibile; rimane la promessa di tornare con lo zaino in spalla e percorrere, almeno in parte, il lungo GR20, il cammino di oltre cento kilometri che attraversa da nord-ovest a sud-est tutte le montagne interne.

Verso sud l’identità corsa emerge in maniera decisiva e trova la sua piena espressione a Sarténe, dove spari di fucile adornano le indicazioni stradali in francese e i rari limiti di velocità, che evidentemente all’anarchismo insulare paiono una fastidiosa costrizione. Parcheggiamo nel Bronx di Sarténe, un tranquillo e pulito parcheggio tra i condomini, e ci immaginiamo che in qualche garage sia riunito il comitato centrale dei giovani del Fronte di Liberazione Nazionale Corso, mentre preparano le bombolette spray con cui la sigla FLNC sarà impressa sui cartelli stradali. Ridete pure, ma se lo sfruttamento costiero della Corsica è rasente lo zero, se ogni tentativo del Club Med o chi altro di insediare bungalov nel selvaggio e inaccessibile Desert des Agriates tra Ogliastro e Sant Fleurent è stato respinto, ben diversamente dalla lottizzazione milanese delle coste della Sardegna, se i siti naturali rimangono intatti, i parcheggi a pagamento inesistenti, le località sostanzialmente scevre del commercio di stupidi souvenirs, ed il còrso (= il francese come lo imiterebbe un italiano) rimane una lingua viva c’è un motivo. Non vorrei che sembrasse un discorso leghista. Qui un’identità c’è, e anche qualcosa da salvare. E c’è un motivo se il moro corso ha la benda sollevata, mentre i quattro mori sardi hanno la benda calata sugli occhi, soprattutto adesso…

Finché non si oltrepassa Bonifacio, la magnifica Bonifacio, uno dei posti al mondo da vedere. Di qua da Bonifacio, verso Porto Vecchio e lungo la strada tutta rettilinei e rotonde della costa est, nel furtivo viaggio di ritorno si reincontrano le orde di camper che si erano lasciate al porto di Bastìa, schierate in maniera ordinata nei campeggi sul litorale di una costa povera e poco interessante, ma con il mare comunque bello e le spiagge pulite. Questa è la metà italiana, e la gente in coda sfanala per passare e non ringrazia. Qualcuno mi dice che così sta scritto sui forum per i camperisti, quelli che a priori mi rifiuto di consultare: scesi a Bastìa, preferite il giro in senso orario, senza spingervi sulla costa occidentale e nell’interno. Sono contento che sia scritto così, penso mentre devìo per San Nicolao dal sito turistico di Moriani Plage per un’ultima scampagnata tra i paesini interni in cresta a lussureggianti promontori ricoperti di felci, per strade poco batutte. Sono contento di poter ricordare le tante Pietra, ottima birra ambrata a base di farina di castagne, sorseggiate su una scogliera a precipizio sul mare davanti al sole rosso che si immerge nell’acqua, in compagnia delle sole persone che contano.

Ritorno da una breve vacanza in terra corsa. In queste due settimane si è rinnovato (un po’) il rapporto con la carta, oltre che con lo iodio e il sole, abituale nemico. Letture sparse dal bellissimo numero estivo di Internazionale, dal libro di Colombati Perceber, qualche articolo scientifico di John Barbour e varie altre cosette. Qualche ascolto. Qualche calcoletto abbozzato su fogli insabbiati intrisi di salsedine, alla ricerca di qualche ulteriore ipotesi sulla natura topologica degli stati stazionari di non-equilibrio. Molto farnulla.

- Ci sono vari commenti a vecchi post speculativi a cui rispondere. Si provvederà presto. In particolare pare che possa nascere un nuovo thread qui o qui. Rileggendo questo secondo post, mi è venuto da chiedermi "che cosa volevo dire?"; inoltre manca ancora all’appello un post promesso su che cosa vuol dire il teorema di Noether in senso informazionale. Sembra che abbiamo acquisito un nuovo lettore, che ci tiene a segnalare il suo blog. Sono sempre eccitato dall’idea di chiacchierare con i filosofi, anche se a volte i linguaggi sembrano inconciliabili. Le idee politiche, veramente, in queste discussioni non contano niente.

- A proposito di tempo, giovedi 10 settembre al Festivaletteratura di Mantova intervisterò Julian Barbour, un fisico profondo e originale che riesce a fare ricerca scientifica di qualità fuori dai circuiti accademici. Il suo faro guida è l’intuizione che il tempo non esiste e non dovrebbe avere posto in una teoria fondamentale. Sto studiando il suo materiale e a breve proporrò qualche riflessione.

- Su piovonorane trovo un attacco alla diplomazia moderata e opportunistica di Fassino nei confronti della situazione in Birmania, accompagnata da una denuncia degli interessi europei e italiani nel paese dei Generali. Condivisibile. Ora, sul numero estivo di Internazionale c’era un lungo e bellissimo reportage (in parte già pubblicato) su Dubai: la crisi economica, lo schiavismo nei confronti dei lavoratori, il disastro ambientale taciuto, i problemi con l’acqua, un regime politico medievale; per non parlare di giudizi ideologici sulla sostenibilità di una megalopoli con campi da golf in prato inglese nel deserto. E ho pensato: quando mai sentiremo un organismo internazionale esporsi sul disastro di Dubai, proporre di mandare osservatori, di aprire trattative, di sanzionare il regime? Gli interessi sono così grandi che Dubai, oppure il Barhein dove si disputa pure un Gran Premio di F1, e gli altri Emirati Arabi sono passati per paesi quasi occidentali. Autentiche cattedrali nel deserto. Tra vent’anni saranno pura archeologia postmoderna, quartieri di lucenti torre vetrate solcati da autostrade di sabbia e sterpaglie.

- Su freddynietzsche il buon intento estivo: la lettura integrale di Infinite Jest di David Foster Wallace. Il 12 settembre, ad un anno esatto dal suicidio, Festivaletteratura celebra il grande scrittore americano con un evento di stampo scientifico-letterario. Sul tavolo ho anch’io Infinite Jest, ancora mai aperto; fa parte dei tre enormi buoni intenti che ho per il prossimo anno, assieme a Perceber di Colombati, lo scrittore italiano che forse più si avvicina alla letteratura americana dei Pynchon e dei Wallace, e, appunto, il monumentale Contro il Giorno di Pynchon.

Sono vacante, evacuate il blog.

Via il solito paulthewineguy.

Qualche sera fà ad una festa la mia ragazza ha chiesto la ricetta della torta di riso soffiato (che con mio disgusto si è poi rivelata una torta a base di Mars… comunque buona) alla ragazza che l’aveva portata. La ricetta è semplicissima, e apprendiamo che per perfezionarla basta iscriversi al gruppo Facebook "fan della torta di Mars" e discutere con gli altri accounts. Certo, come avevamo fatto a non pensarci prima. Probabilmente basta digitare "torta di Mars" qui in alto a destra e scegliere tra i primi tre risultati: internet non si esaurisce con Facebook, ma non è di questo che voglio parlare…

Forse uno dei motivi principali per cui non ho e non avrò mai un account Facebook (fino a prova contraria) è che non potrei fare parte dei "fan" di niente. Non perché non abbia le mie passioni, è proprio la parola "fan" che mi in-fan-stidisce. Io non sono fanatico delle variazioni Goldberg, non fanatizzo neanche per il risotto con le salamelle, e d’altra parte la maggior parte della gente non ha affatto un amore ossessivo e monocratico per la maggior parte delle cose che dice di "amare" o "adorare", come neppure ha un’idiosincrasia per le cose che dice di "odiare". Questo è un discorso che molto meglio di me ha fatto Kundera ne L’Immortalità, e di riflesso anche con il discorso sul kitsch ne L’Insostenibile Leggerezza dell’Essere, quando (vado a memoria) descrive l’insofferenza della protagonista per una signora impudica che, nuda in sauna, ad alta voce non fà che declamare il suo amore per il caldo, la detestabilità di questo, non lo posso soffrire, ma tu non lo adori…

Non voglio però neanche parlare di questo modo di esprimersi, iperbolico, manicheo, che è universale e infastidisce solo quando diventa un continuo tentativo di imposizione della propria (debole) identità e di accentramento del proprio ego spigoloso. Cercavo invece di riflettere su quest’altro fenomeno: la caratterizzazione di sè stessi. Ovverosia, l’aggiunta di caratteri per definire la propria personalità, la costituzione di gusti, abitudini e atteggiamenti in funzione della costruzione della propria persona, anzi, del proprio personaggio. Questa parola, "personaggio", che si legge e sente sempre più di frequente e che io ho bandito dal mio vocabolario, perché trovo offensiva. Voler diventare un personaggio, con un ruolo ben definito all’interno della dialettica di gruppo, è un comportamento infantile. Quando ero bambino, per via delle orecchie a sventola, venivo chiamato Dumbo; e per non soffrire il dileggio ho reagito appropriandomi di quel soprannome, e in qualche modo (per esempio auto-schermendomi) incorporando quella mia caratteristica fisica nel mio "personaggio". Quando ho visto che c’era interesse perché ero stato in Egitto, ero diventato l’egittologo della classe. Giocavo a basket, e quindi dovevo coltivare la "passione" per Michael Jordan e i Chicago Bulls. C’era un altro che disegnava solo dinusauri perché aveva la più grande passione per i dinusauri, c’erano quelle del club delle bambine che non so cosa facessero, etc. etc. L’abbiamo passata tutti, la definizione della nostra personalità e la paura della non-accettazione.

Questo percorso credo che si attenui quando si impara l’empatia e si capisce che gli altri sono nella stessa nostra condizione, anche se non finisce mai veramente. A volte mi sembra che il parlare per "odio/amore" faccia ancora parte del processo di definizione della propria persona. Ero già alle medie quando una mia amica mi disse che lei si lavava alla mattina sempre con l’acqua gelata, e mi chiese "e te?". Risposi che anch’io adoravo lavarmi con l’acqua fredda, e vedendola così contenta di aver trovato un suo simile, cominciai effettivamente a lavarmi con l’acqua fredda, cosa che faccio ancora perché nel frattempo è venuta a mancare la pazienza di attendere quella calda.

Quindi io ADORO lavarmi con l’acqua fredda. Mi piace giocare a Tetris, amo Lennie Tristano, non sopporto le cose dolci, non posso soffrire i cani. C’è chi adora la cucina messicana piccante, che più piccante non si può, chi ha fatto un corso di greco, chi quello di fotografia. Spesso ho l’impressione che le persone sviluppino interessi effimeri, un po’ approssimativi, che servono più che altro a caratterizzare la persona. Aggiorna la lista: cucina svedese, danza hip-hop, cartomanzia, in palestra una volta alla settimana. Forse questa impressione è più che altro dovuta alle liste di interessi che compaiono sui social network, liste che mi rifiuterei di compilare (scusate, sono in un momento così) e che costituiscono un’altra ulteriore barriera invalicabile alla mia trionfale discesa in campo. Forse proprio su internet, data la grande connettività e massificazione, si assiste un po’ alla regressione all’infanzia, al bisogno di definire un’identità per aggiunta di caratteri, al bisogno di identificarsi in un gruppo per tratti caratteristici schematici e sperficiali. Mi chiedo semplicemente che effetto possa avere questo sulle reali abitudini e interessi delle persone.

Domani questo blog tacerà, così potrà risuonare più alta la voce di brullo vespa. Ma non potevo lasciarvi senza un po’ di compiti per le vacanze.

Negata la tessera a Beppe Grillo, con un ridicolo escamotage burocratico: la tessera và presa nel comune di residenza. Vorrà dire che Grillo potrà tornarsene in patria e farsi la tessera, chi glielo impedirà? Perché inalberarsi così? Non valeva la pena accoglierlo a braccia aperte e far finta di accettare la candidatura? Eventualmente, applicando lo statuto che gli impedirebbe, pur avendo la tessera, di candidarsi?

"Un partito non è un autobus", tuona Bersani. E’ vero, un partito è una cosa seria, è una cosa vostra, e non del primo che passa.

Peccato che siano stati proprio quelli del PD a ricattare l’intero arco della sinistra, con la pagliacciata delle primarie per fingersi "partito democratico" di maggioranza, costringendo la gente con il "voto utile", nonostante questo perdendo inesorabilmente quota, approvando tutto sommato le soglie del 4% che privano un buon 10% di popolazione del diritto di voto, e istigando di fatto una campagna popolare contro la frammentazione della sinistra.

Cosa deve fare allora uno che per caso volesse entrare in politica, metti il caso che abbia anche delle belle idee, un sacco di gente che lo supporta, l’appoggio di associazioni etc.? Deve fondare un altro partito infinitesimo? Oppure entrare nel PD, fondare una corrente (ah no, le correnti sono vietate nel PD) e provare a conquistarlo?

E’ vero, il PD è un autobus. Siete voi che l’avete voluto così.

E adesso chiudo la bocca.

E’ da un po’ di tempo che sto ragionando intorno ad un possibile legame tra due oggetti molto distanti, ma in un certo senso analoghi in quanto "circuitanti".

Da un lato abbiamo le forze termodimaniche che mantengono un sistema lontano dall’equilibrio, in stati stazionari in cui fluiscono correnti, ed entropia è scambiata costantemente con l’ambiente. Forze e correnti costituiscono gli osservabili macroscopici fondamentali della meccanica statistica di non-equilibrio, e nella rappresentazione dei processi di Markov su grafo hanno una elegante interpretazione in termini dei cicli (o circuiti) del grafo.

Dall’altro abbiamo i Wilson loops delle teorie di gauge, o per meglio dire le olonomie di una connessione in geometria Riemanniana. Detto in parole povere, se camminate in circolo su una superficie curva in una maniera "naturale", cioè dettata da una particolare regola che vi dice come avviene il trasporto parallelo (una connessione), quando sarete al punto di partenza vi potreste trovare orientati in una direzione diversa da quella di partenza. L’olonomia vi dice, per ogni circuito, di quanto vi siete girati.

Il motivo per cui è ragionevole pensare che ci sia un simile collegamento è dovuto al fatto che le correnti (microscopiche) stazionarie obbediscono ad una legge locale di conservazione:

Quest’equazione ha due possibili classi di soluzioni. Se allo stato stazionario le correnti si annullano si parla di stato d’equilibrio, in cui vale il bilancio dettagliato. In questo caso tutto è fermo. L’altra possibilità è che la corrente sia (in tre dimensioni) il rotore di un potenziale vettore

e quindi che vi siano delle correnti non-nulle che circolano attraverso il sistema e che si bilanciano perfettamente in ogni punto dello spazio. Si intuisce che queste correnti devono fluire in circuiti per non disperdersi all’infinito. Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

E’ questa l’invarianza di gauge della teoria che ci fà pensare ad una corrispondenza tra gli osservabili della meccanica statistica di non-equilibro e le olonomie della connessione, alias il potenziale vettore. Notare che il gruppo di gauge sarebbe, molto banalmente, U(1), e come in elettromagnetismo classico esiste una corrente di Noether e quindi una carica conservata: in questo caso si tratta della probabilità totale, ovverosia l’"informazione", normalizzata ad 1.

Diffusione su grafo

L’equazione da cui partiamo è un’equazione di continuità ai nodi di un grafo G=(V,E), una collezione di nodi (vertices) e di rami (edges) tra nodi:

che afferma che la variazione della probabilità di trovarsi in un sito j del grafo dipende dalla somma delle correnti uscenti da quel sito, correnti che sono antisimmetriche per inversione dei nodi (sono forme antisimmetriche). Le correnti hanno una dipendenza funzionale dalla probabilità che non ha veramente importanza per quanto segue, ma che generalmente assume questa forma:

ove \Delta è la matrice laplaciana di un grafo orientato e con pesi lungo i rami, e come accennato qui generalizza ad un’operatore di Laplace-Beltrami nel passaggio ad una varietà. Noi saremo interessati soltanto alle proprietà "topologiche" del grafo, e quindi non abbiamo bisogno di considerare la specifica forma che la laplaciana assume ed i pesi lungo i rami.

Teoria dei grafi

Come trasportare la nozione di invarianza di gauge alla teoria dei grafi, ed in particolare all’applicazione di quest’ultima alla teoria delle maglie di Kirkhoff? Una delle matrici fondamentali, che contengono l’informazione "topologica" di un grafo orientato (ove l’orientazione assegnata ai rami è arbitraria e irrilevante), è la matrice di incidenza che per ogni ramo e, e ogni nodo i ci dice se il ramo parte o arriva al nodo, oppure se non lo tocca:

La matrice di incidenza è un operatore lineare dallo spazio R^E delle combinazioni lineari di rami del grafo, allo spazio R^V delle combinazioni lineari di nodi. Per questa ragione è utile trasferire tutta l’informazione contenuta nella matrice antisimmetrica delle correnti in un vettore in R^E:

La definizione è più involuta di quanto serva: j è semplicemente il vettore delle correnti lungo i rami. In termini di questo vettore l’equazione di continuità nello stato stazionario, detta legge di Kirkhoff, si scrive semplicemente:

La matrice di incidenza svolge quindi il ruolo del gradiente nel continuo. Le proprietà della matrice di incidenza sono ben note: il suo kernel è rappresentato dai circuiti di un grafo, mentre l’immagine della sua trasposta (le righe della matrice) sono una base per lo spazio dei cocicli, secondo le definizioni date l’altra volta. Cicli e cocicli formano spazi ortogonali, e la legge di Kirkhoff afferma che la corrente stazionaria è combinazione lineare di una base di circuiti fondamentali del grafo:

C’è un modo canonico per individuare questa base, ma ne discuterò in futuro (queste promesse sempre disattese…).

La matrice co-laplaciana

Definiamo ora una nuova matrice prendendo il prodotto matriciale della matrice di incidenza e della sua trasposta, in questo ordine:

C è un endomorfismo nello spazio vettoriale delle combinazioni lineari di rami del grafo. Di questo operatore ho cercato di congetturare proprietà dello spettro e degli autovalori, prima di rendermi conto che lo spettro coincide (a meno della moltiplicità dell’autovalore 0) con quello del suo duale, il "laplaciano topologico"*

un oggetto ben conosciuto. Inoltre, A’ = C- 2I rappresenta la matrice di adiacenza del line graph di G, ossia del grafo che si ottiene invertendo rami e vertici adiacenti con vertici e rami (ma C non è la matrice laplaciana del line graph, quindi la trasformazione non è involutiva).  Le entries di C sono date da

Lo spettro risulta essere particolarmente semplice per grafi completi di grado k, che hanno autovalore 0 in corrispondenza dei cicli e autovalore (k+1) in corrispondenza dei cocicli. In questo caso gli operatori

sono proiettori rispettivamente nello spazio dei cocicli e nello spazio dei cicli. Diversamente, se il grafo è meno regolare lo spettro si arricchisce di autovalori positivi in maniera poco prevedibile. Ciò che importa è che se \lambda_i, i = 1,…,V-1, sono gli autovalori nonnulli di C (il perché, per un grafo connesso, siano V-1 è sempre rimandato al famoso seguito…) si ha

ove abbiamo implicitamente definito l’operatore "perpendicolare" a C (da non confondere con un proiettore ortogonale). Torniamo alla nostra equazione di continuità, che riscriviamo nella forma

senza perdita di informazione.** La corrente j è un autovettore dell’operatore perpendicolare:

 

 

Possiamo finalmente calcolare la circuitazione di f lungo un qualsiasi circuito fondamentale del grafo:

ove (,) è il prodotto scalare euclideo. Questa è la famosa olonomia della connessione lungo un circuito. Se ora facciamo una trasformazione di gauge, essendo i circuiti annichiliti da C, si vede subito che le olonomie sono invarianti, come ci si aspetta. Inoltre, ogni osservabile gauge-invariante (e.g. la corrente) si può scrivere come combinazione lineare di olonomie.

- - -

Nella prossima puntata (se ci sarà):

- a cosa servono le olonomie in meccanica statistica di non-equilibrio

- che cosa vuol dire gauge-fixing

- quali paralleli può offrire questo quadro

(alla prossima…)

* Il problema di caratterizzare gli autovettori in termini di combinazioni lineari di cocicli, e gli autovalori interi in termini di proprietà combinatorie dei degree dei vertici rimane, e la visualizzazione grafica offerta da C potrebbe aiutare a capire meglio lo spettro di L.

** L’operatore C rappresenta quindi una sorta di grad div, che si annulla per tutte le div j =0, a meno di una costante. Una domanda interessante è chiedersi quale sia lo spettro di grad div, quali i suoi autovettori e se questi possano ammettere un’interpretazione analoga a quella in teoria dei grafi come combinazioni lineari di "cocicli".

Le prime reazioni alla candidatura di Grillo alle primarie sono state balbettanti, scollate, istintive. Dimostrano incertezza e preoccupazione. Che fare? Impedirgli di tesserarsi? Ma, francamente, come si fà a negare la tessera a quella specifica persona perché non condivide pienamente le posizioni del partito? Chi mai si è preso la briga di scannerizzare i propri tesserati (tra i quali uno stupratore seriale…)?

Ma ragazzi, suvvia, non siate ridicoli, e anzi, sfruttate questa occasione che Grillo vi porge sul piatto. E’ ovvio che la sua candidatura non può sopravvivere al congresso che selezionerà i tre candidati alle primarie (altrimenti, che cazzo di partito c’avete in mano che non riesce a resistere neanche ad un po’ di claque organizzata?). Fingete apprezzamento per l’aggiungersi di una voce in più, diversa. Dimostrate un po’ di nobiltà e di superiorità alle strategie dell’"apparato", che fate solo bella figura. E poi, sfruttate l’occasione per normalizzare Grillo: d’ora in poi, essendo un tesserato, avrete sempre la carta vincente del "ci critica, ma lui è dei nostri; siamo generosi a non espellerlo", e della responsabilità e disciplina di partito etc.

Io lo so che le primarie sono una stupidaggine. Perché mai la gente dovrebbe votare il leader di un partito? In America la gente vota il candidato presidenziale, non il presidente. E’ un tantino diverso. Capisco la vostra paura di intrusioni rispetto ad un già difficile mosaico. Ma non è possibile che ogni candidatura "di peso", come quella di Di Pietro, o quella di Grillo, venga rigettata. Perché Scalfarotto disceso sulla Terra dall’Inghilterra sì e Grillo no?

Update. Come fà notare Soffri, da Statuto del PD non si possono candidare alle primarie gli iscritti dopo la data di indizione delle stesse, e quindi Grillo sarebbe in ritardo di un mese. Perfetto. Il regolamento è il regolamento, non vedo perché fare eccezioni per Grillo. Però a ’sto punto lui per decenza dovrebbe farsi la tessera.

Corollary. Certo che è un bel figliolo. Figurarsi se non sapeva che il regolamento gli impedisce di candidarsi. E lui che fà? Si canda lo stesso, per poi essere respinto e poter lanciare anatemi e ingiunzioni contro l’"apparato" (a proposito, "apparato" sarà il tormentone dell’estate, scalzando il desueto "casta").

Come sapete l’altro giorno, a 48 ore dall’inizio del G8, sono scattati vari arresti di disobbedienti per i fatti di Torino. Come ben detto qui, la puntualità degli arresti, le persone interessate (guardacaso miratamente tutti leader di centri sociali/collettivi, ma c’erano solo loro?), e (almeno a Padova) la ruvidezza dell’operazione sono molto sospette, e preoccupano.

Preoccupa soprattutto il tentativo di tagliare le gambe un movimento che probabilmente dal prossimo autunno ritroverà nuove energie, se non saremo tutti fuggiti nel frattempo, e di alzare i toni in vista di un G8 che si preannuncia fallimentare, e quindi bisogna scaricare il fallimento sulle proteste. Questo G8 invoca già il suo morto.

Tornando agli arresti. Con alcune di queste persone ho avuto anche un’antipatia personale, che è sfociata in litigi (e minacce), per cui capirete se non sarò molto tenero. Riprendo da un commento lasciato su piovonorane (riguardo a tutt’altro), opportunamente modificato: 

Guardate gli arresti per gli scontri a Torino. Chi sono questi che si sono piazzati alla testa del corteo? Secondo voi esprimono l’opinione e i metodi di quelli che marcian dietro? E se non condividessi le loro parole? Come mi sentirò quando alla televisione si parlerà solo di loro?

E’ anni e anni che partecipo a manifestazioni, iniziative etc. anche molto attivamente, non ho mai cercato di farne credito e credo che questo sia lo spirito giusto per costruire una partecipazione dal basso condivisa. L’analogia è che puntualmente si è sempre instaurata un’”avanguardia” portatrice di un messaggio e di un metodo che non può mai essere quello di tutti ed in particolare il mio, ma che poi finisce con l’essere l’unico messaggio che filtra sui nostri media riduzionisti.

Anche il logo-nome Onda è ormai compromesso, e se la protesta monterà ancora il prossimo autunno, bisognerà che venga definitivamente abbandonato. Perché l’Onda dovrebbe partecipare alle manifestazioni per la TAV, per il DalMolin, per il Mose (fronti che condivido) seguendo l’agenda politica dei disobbedienti? Perché le assemblee aperte finiscono sempre inevitabilmente per essere dei comizi dei soliti "scienziati politici" sgrammaticati, di chi urla di più nel megafono e di chi la sà più lunga degli altri?

Un’ultimo sfogo. Ora invocano solidarietà e amnistia. Ma di che antisistema sei se ti appelli all’indulgenza del sistema? Se le forze dell’ordine e il sistema giudiziario sono tuoi nemici, se sono eserciti avversari, tu non fai ricorso al giudice di pace, alla corte d’appello, al Presidente della Repubblica, tu ti dichiari prigioniero politico e ti cucchi la pena, senza appello. Per una questione di integrità.

Se siete riusciti a leggere tutto il post sulla matrice dei circuiti di un grafo, meritate i miei complimenti, ed un complemento. Voglio mostrarvi come sia possibile ricavare gli autovettori della matrice di flusso per sola via grafica, almeno nel caso semplice di un grafo completo.

Innanzitutto, devo migliorare la qualità delle congetture. Facevo una inutile distinzione tra la matrice di flusso e la matrice D^TD, che differiscono di un multiplo dell’unità. Pertanto d’ora in poi mi riferirò a quest’ultima come alla matrice di flusso. Mi piace la teoria dei grafi perché è una scienza induttiva, e non deduttiva; perché è combinatoria, e perché è tuttosommato semplice. Lavorando ad alcuni esempi sono arrivato alla conclusioone che questa matrice abbia come autovalore 0, in corrisponenza dei circuiti, con relativo autospazio di dimensione E - V +1, ove E è il numero di rami e V quello di vertici. Possiede inoltre l’autovalore V, ed il relativo autospazio (V-1)-dimensionale è ortogonale a quello dei circuiti.

Prendiamo in considerazione il grafo completo con 6 vertici e con 6!/(2!4!) = 15 rami (che non è planare), cui assegnamo un’orientazione arbitraria:

Quindi scegliamo un albero ricoprente, per esempio

Aggiungendo uno dei rami rimanenti (detto "corda") e "defogliando" dai rami inutili si individua una base di circuiti fondamentali:

Questi sottografi (chiamiamoli, con poca fantasia, "flussi") costituiscono autovettori della matrice di flusso, relativamente all’autovalore che conta il numero di percorsi dallo stato iniziale a quello finale, che in un grafo completo è pari al numero di vertici V. I grafi che si ottengono con questa prescrizione sono una base per tutti i grafi analoghi, a partire da un qualsiasi albero. La regola di composizione è molto semplice: se F_1 ha il ramo ij marcato dalla doppia freccia, e F_2 ha il ramo jk marcato dalla doppia freccia, allora la loro somma F_1 + F_2 ha il ramo ik marcato da doppia freccia. Interessante poi constatare (per via algebrica) che questi autospazio è ortogonale all’autospazio dei circuiti.

(Update) Uno spazio vettoriale ortogonale allo spazio dei cicli è lo spazio dei cocicli (un risultato dovuto a Gallai), insiemi minimali di vertici che disconnettono il grafo. Una base di cocicli si può generare prendendo il complemento dell’albero generatore dei circuiti (co-tree), aggiungendo ad esso i rami rimanenti (detti twigs) ed eliminando i rami che non contribuiscono a disconnettere il grafo. L’orientazione dei rami del cociclo si impone orientando i rami da uno dei due domini sconnessi all’altro. I cocicli NON sono autovettori della matrice di flusso, ma ovviamente ogni vettore di flusso si può scrivere come combinazione dei cocicli in maniera molto semplice. Se F_1 è il flusso da i in j, si nota subito che F_1 è la somma dei due cocicli che separano i dal resto del grafo, con orientazione uscente, e di quello che separa j dal resto del grafo, con orientazione entrante:

Tutta questa regolarità è dovuta all’ipotesi che il grafo sia completo. E’ interessante chiedersi cosa possa succedere se il grafo non è completo (ma comunque ridotto). In questo caso la matrice di flusso può avere diversi autovalori positivi (in base al numero di percorsi di due rami che collegano i due vertici estremali), con relativi autospazi.

Ancora una volta, vale la pena enfatizzare che tutto ciò non è dimostrato, ma solo congetturato, nell’attesa che si manifesti quell’ovvio riferimento bibliografico che, ad opera di indistinguibili ignoti cinesi o di illustri scienziati russi che negli anni ‘60 nascondevano le proprie scoperte in assurde riviste sovietiche, tratta tutto ciò e molto di più con il dovuto rigore.

Mi piacciono così tanto, ma COSI’ TANTO, i candidati alla leadership del PD che sarei stato francamente in imbarazzo a dover scegliere tra uno dei tre. So che avrei occupato l’urna per ore oscillando impazientemente la matita tra le dita. Per fortuna Rutelli ha pensato a me eliminandone uno con l’abbraccio della morte, dopo il bacio di Giuda di Veltroni.

Spero che Marino riesca a stare alla larga da ogni sponsor, compresi i miserevoli piombini.

I circuiti di un grafo orientato rivestono un ruolo fondamentale in meccanica statistica di non-equilibrio, ove i rami dei grafi rappresentano le possibili transizioni tra stati, ed in termini di circuiti e alberi massimali si costruiscono le grandezze termodinamiche macrocopiche, come le correnti stazionarie e le forzanti esterne.

La matrice di incidenza e la laplaciana

Se |E| è il numero di rami e |V| il numero dei vertici, la matrice di incidenza è una matrice |E|X|V|. Se se ne prende il prodotto matriciale per la matrice trasposta si ottiene la matrice |V|X|V| detta laplaciana (di cui lap(l)aciano è sicuramente un cultore):

ove d_j è il grado del sito, pari al numero di rami che vi afferiscono. Ma non è di questa che voglio parlare.

La matrice di "confluenza"

Molto più interessante per i miei scopi è la matrice |E|X|E| che si ottiene prendendo il prodotto inverso

che ha 2 sulla diagonale, +1 se i due rami confluiscono o provengono dallo stesso vertice e -1 se fluiscono attraverso i. Per questo battezzo la parte non diagonale di DD^T la matrice di "confluenza" F non avendone trovato menzione in letteratura (e lancio l’appello…). Quesa matrice si può intendere come un endomorfismo lineare in uno spazio vettoriale. Ogni sottografo o grafo che si possa ottenere considerando anche più ripetizioni dello stesso ramo orientato si può rappresentare come un vettore sul gruppo dei numeri interi. Esempi espliciti sono riportati più sotto.

Disclaimer: Tutte le affermazioni da qua in poi sono congetturali: nessuna dimostrazione, probabili toppe e pezze a venire.

L’operatore F sembra avere interessanti proprietà.

1) Dato un grafo non orientato G, si ha una rappresentazione della matrice di confluenza G per ogni possibile orientazione arbitraria dei rami del grafo. Congetturiamo (e dev’essere molto semplice dimostrare) che le congetture che seguono siano indipendenti dall’orientazione scelta.

2) F è invertibile (e quindi è un automorfismo) se (non saprei il "solo se") il grafo è privo di foglie ed è ridotto, ovverosia sono eliminati tutti i vertici cui confluiscono solo uno o due rami. In sostanza, partendo da un grafo qualsiasi facciamo la seguente "ristrutturazione":

fig. 1

Questo non deve risultare scandaloso, ha senso fisico: nello stato stazionario tra una foglia e il resto del sistema vige una condizione di bilancio dettagliato, che è locale. Rimuovere la foglia non modifica la termodinamica del resto del grafo. Sempre nello stato stazionario, la riduzione di due spigoli consiste nel sommare le relative "differenze di potenziale", mentre la corrente che fluisce, e per la quale vigono leggi di conservazione ad ogni vertice, è la stessa: ancora la termodinamica del resto del grafo rimane invariata. Per cui considero solo questo tipo di grafi.

3) Le proprietà interessanti di F riguardano i circuiti. E’ abbastanza semplice convincersi che D^TD = 2I + F si annulla in corrispondenza di tutti i (quasi)circuiti orientati, come questo:

fig. 2

Questi notoriamente formano un sottospazio lineare chiuso nello spazio dei sottografi, in quanto combinazioni lineari di circuiti orientati sono ancora circuiti orientati. Infatti sono tutti autovalori relativi all’autovalore -2 dell’operatore F. Per esempio il grafo in figura è scomponibile in 4 circuiti fondamentali (essendo planare, si può scegliere come base i circuiti che tagliano porzioni finite di piano). In verità questa non è una proprietà di F, ma della matrice di incidenza D stessa.

4) Più interessante è cercare di capire che cosa combina F su un qualsiasi grafo, andando alla ricerca degli autovettori rimanenti. Per questo ho soltanto l’analisi spiccia di un paio di esempi. Considero il grafo planare (ma non k-regolare, il che dà problemi)

 

fig 3

La matrice di confluenza è (scusate il segno meno, non avevo voglia di cambiare tutte le entries)

i cui autovalori sono -2,-2,-2,-2,-2,3,3,3,1 (tranquilli, non li ho calcolati a mano). Si notano con il segno negativo i cinque autovalori relativi all’autospazio di dimensione 5 dei circuiti, e due autospazi relativi ad autovalori positivi. La somma degli autovalori è nulla, essendo pari alla traccia che è un invariante.

5) Trovare gli autovettori di una matrice, si sa, è una bella rottura. Sarebbe bello avere una ricetta meccanica per individuare i sottografi che costituiscono gli autovettori relativi agli autovalori positivi, ed una espressione esplicita per il loro relativo autovalore in termini di loro proprietà "topologiche" come connettività, grado etc. Una prima ipotesi è quella di cercare tra i cocicli, insiemi minimali di rami che dividono il grafo in due sottografi disgiunti, in qualche modo duali ai circuiti, ma purtroppo non funziona (ma il "purtroppo" in matematica non esiste: le cose sono o non sono, e non c’è da dispiacersi altrimenti). Per i circuiti c’è un tale trucco, ed è abbastanza semplice. Si può per esempio partire da un albero, aggiungere una corda e buttare via quello che non serve. Per i sottospazi ortogonali, so’ cazzi. Ma sto diventando abbastanza bravo a trovare gli autovettori per via grafica, con un po’ di fantasia.

Prendo due vertici opposti e disegno tutti i percorsi dal primo al secondo che contengono due rami, conteggiando due volte un percorso diretto. Faccio in modo di toccare tutti i vertici del grafo. Se i due vertici sono collegati direttamente, ottengo un autovettore relativo all’autovalore 1, altrimenti ne avrete uno relativo all’autovalore 3:

 

fig 4

 

 

fig 5

Purtroppo la stessa costruzione non funziona benissimo per altri due vertici a caso; ma ci dev’essere qualcosa sotto.

6) Se il grafo è completo, la ricetta qua sopra è esatta e lo spazio ortogonale ha rango |V| - rk(F + 2I). Interessante in questo caso è andare ad analizzare gli operatori di proiezione, ma sarà fatto in un’altra puntata.

7) Può essere interessante domandarsi se esiste una matrice che sta ai cocicli come F sta ai cicli.

8) L’operatore F agisce in uno spazio vettoriale definito su un gruppo, non su un corpo. La cosa non dà problemi perché F ha solo autovalori interi, e quindi ogni vettore si può scrivere come combinazione lineare intera degli autovettori di F. L’analisi dello spettro di questo operatore permette di dare una decomposizione esplicita di OGNI grafo (di quelli che consideriamo noi) in termini di circuiti e… un’entità ancora abbastanza informe.

* Il motivo per cui mi sono addentrato nei risvolti della matrice di incidenza è perché questa permette di transitare da una rappresentazione in rami ad una rappresentazione in vertici del grafo; la matrice di incidenza in un certo senso è l’operatore che calcola il "bordo" di un insieme di vertici, e si può definire analogalmente un operatore di "cobordo". I circuiti orientati sono grafi senza bordo. Mi interessano molto le analogie tra teoria dei grafi e la teoria di Hodge-deRham, di cui parleremo un’altra volta. Segno solo un appunto. Le grandezze termodinamiche (e.g. le forze microscopiche A) che ci interessano sono antisimmetriche per inversione del senso dei rami de grafo. Le due possibili rappresentazioni che ne possiamo dare sono come un vettore nello spazio lineare dei rami del grafo, o come matrice antisimmetrica in rappresentazione "vertici":