Per motivi imperscrutabili ho avuto bisogno di un’interpretazione dell’integrale stocastico diversa dalle due più importanti, quella di Ito e quella di Stratonovich. Un integrale stocastico si definisce in maniera del tutto analoga all’integrale di Riemann, ovvero come limite di approssimazioni di "aree" di funzioni a gradoni:

Il differenziale però non è la variabile temporale, ma un moto browniano, ossia un processo stocastico markoviano con incrementi indipendenti distribuiti con statistica gaussiana:

ove \omega designa la particolare traiettoria nello spazio di probabilità sottostante, ed \alpha seleziona un punto tra \tau_k e \tau_{k+1}.

La convergenza della discretizzazione all’integrale stocastico è da intendersi in probabilità, ed il limite differisce a seconda di come si procede alla discretizzazione. Questo dà origine a diverse interpretazioni dell’integrale stocastico. Scegliendo di approssimare la funzione all’estremo inferiore dell’intervallo temporale si definisce l’integrale di Ito:

Un’altra importante discretizzazione è quella à la Stratonovich, di punto medio:

I due integrali hanno pregi e difetti, e la scelta di come interpretare un’equazione differenziale stocastica dipende dalle condizioni fisico-matematiche che rendono l’una o l’altra preferibile. L’integrale di Ito ha il vantaggio di essere una martingala e di essere più adatto alla computazione. L’integrale di Stratonovich è agevole per calcoli analitici ed è più adatto ad essere applicato su varietà. Il primo rispetta la causalità, il secondo "guarda" nel futuro; tuttavia risulta che il secondo è fisicamente più sensato a modellizzare situazioni in cui il rumore non è perfettamente bianco, ma dipende anche dalla storia del processo (ma dovrò studiare meglio il rumore colorato). Questo rende l’integrale di Stratonovich apparentemente più adatto, ma nel nostro caso, in cui siamo interessati a tener conto di un certo lag tra protocollo sperimentale e risposta del sistema, rimaniamo con la formalizzazione di Ito.

Nel contesto dei teoremi di fluttuazione, è centrale il concetto di inversione temporale di una traiettoria. Per questa ragione può essere utile introdurre una nuova procedura di discretizzazione, "invertita" temporalmente rispetto a quella di Ito, per fare in modo che anche le traiettorie inverse subiscano un’azione causale consistente. Ha senso quindi definire

Il nostro scopo è di trovare una semplice procedura per passare da una discretizzazione à la Ito ad una discretizzazione end-point. Con pochi passaggi l’integrale end-point si dimostra essere in relazione con l’integrale di Ito secondo

   (1)

ove [dfdW] seleziona in termini con differenziale di ordine dt = (dW)^2 (quest’ultima relazione è data per scontata). Definito l’integrale end-point è possibile introdurre un differenziale stocastico e la generica equazione differenziale stocastica

     (2)

Data la relazione (1) e il differenziale (2), si ha

Pertanto il processo soddisfa l’equazione differenziale stocastica di Ito

     (3)

Quest’ultima relazione fornisce la regola di trasformazione del drift che consente di passare da una interpretazione end-point di un’EDS ad una interpretazione di Ito.