S’è fatto parecchio rumore su Not Even Wrong, l’accurato blog di Peter Woit dedicato alla smitizzazione della teoria delle stringhe e affini, riguardo ad un ennesimo "caso" controverso di comunicazione/pubblicazione scientifica. Woit e commentatori si sono accorti che alcuni articoli di wikipedia sulla teoria di Yang-Mills, sulla teoria delle perturbazioni ed altri, sono stati editati con l’inserimento di paragrafi che contenevano materiali non tradizionali e non particolarmente di primo piano, frutto di ricerca recente, e soprattutto con referenze alla ricerca dell’autore stesso, contrariamente alle policies di wikipedia, in particolare quella sui contenuti originali e quella sul conflitto di interessi. Non linko da wikipedia perché le parti controverse sono state rimosse, ma le stesse pecche analoghi contenuti si possono trovare su Dispersive wiki e una fotocopia delle pagine inglesi, non ancora ripulita, su Wikipedia Italia. Infatti l’autore è uno scienziato italiano, il quale a giudicare dagli indirizzi appuntati sugli pubblicati su arXiv lavora indipendentemente da centri di ricerca (non che questo sia motivo di discredito). Su spires viene per taluni articoli ricondotto della Sapienza Università di Roma, ma ad ispezionare la rubrica interna del sito dell’università non compare; errore di Spires probabilmente. Costui lavora a teorie di gauge classiche (non stringhe, non supersimmetria), è un autore solitario,  è molto prolifico ed ha una tendenza un po’ spinta all’autocitazione, e a quanto pare anche all’autopromozione sulle pagine delle enciclopedie online. Tiene un blog in cui discute le sue idee, che ad un profano come me sembrano esposte in maniera molto seria. Non entro nella piccola battaglia che si è creata tra i fan di Woit e i fan del suddetto, con messaggi anonimi, censura di messaggi dall’una e dall’altra parte, attacchi personali grauiti e Einstein tirato per la giacchetta (che, se fosse vivo, il mio Einstein personale spalerebbe raffinata merda sulla teoria delle stringhe).

Non voglio dire niente di più di quanto uno può leggere in questi due blog, anche per evitare commenti disinformati e sgradevoli. E’ probabile che nei prossimi giorni la blogosfera reagisca sfornando nuove verità. Non voglio neanche aprire un discorso sull’accuratezza di Wikipedia (che uso regolarmente), a parte ribadire questo commento lasciato nel blog di Woit (non badate al cattivo inglese, è pensato in italiano):

A personal thought. I think scientific articles in wikipedia are both too technical and not enough. I mean: from a generalistic encyclopedia I would expect the articles to be accessible to laymen, at least in the first few sentences. From a specialistic encyclopedia I would expect rigour and carefulness. It seems to me that there is a sort of clash among opposite forces in Wikipedia that mediates these two positions with the result that articles are neither simple nor correct, and in the interstice anything can insert. Moreover, they almost never are fluent: different sections of an article are decorrelated one from another, there often is not a coherent development.

Voglio però riferire di un fenomeno curioso. Su Google Scholar, motore di ricerca per la ricerca (indispensabile), impostando come chiave il nome dell’autore, saltano fuori tutta una serie di articoli di cui lui e gli altri autori indicati dal motore non sono gli autori, e negli articoli i loro nomi non compaiono mai, neanche nella bibliografia. Questo fatto ovviamente non gli è certo imputabile, ci deve essere un errore del motore di ricerca. Mi pare un cosa abbastanza inspiegabile e che meriterebbe di essere risolta.

Update. Come prevedibile i toni si alzano. Si registra in particolare la discesa in campo di Motl, ed un nuovo post sul blog di Frasca, con una difesa della sua posizione. Mi colpiscono due frasi:

What would be Woit’s position if I am right?

In a very short time an eventual Woit’s error will be exposed. And by irony, Wikipedia’s entry will be updated with my ideas. Much better than now.

Mi sembra che si confondano due livelli di discussione: la correttezza delle idee e la correttezza della promozione di queste idee su Wikipedia. Non credo che Woit sia mai entrato nel merito della ricerca di Frasca, e non è quello il punto. Potrebbe anche essere ricerca avveniristica che conducerà ad un Nobel, ma se al momento non è ancora assimilata da una comunità scientifica non ha sede in Wikipedia. Un buon turning point potrebbe essere quello di aspettare che questi risultati e referenze siano collezionati in libri sulle teorie di gauge.

Il tono di queste frasi mi fa pensare che Frasca si senta come uno scienziato illuminato ma ignorato, in attesa del trionfo delle sue idee. Un’idea romanitica. Personalmente, tendo ad essere sempre molto scettico: è forte il pericolo che si tratti di millanteria. Sicuramente Wikipedia è un territorio inadatto per questa campagna di verità.

Consiglio la lettura su Repubblica oggi dell’articolo di Baricco, che invoca un dirottamento dei fondi pubblici dalle sedi privilegiate e ricercate dell’avan-retro-guardia culturale (teatri, opere etc.) verso spazi ove la cultura può essere fruita in maniera più pervasiva ed educativa: la scuola e la televisione. Io non amo Baricco come scrittore ma apprezzo - e non condivido - le sue tesi critiche, espresse sempre con chiarezza.

Il pezzo mi divide a pezzi. Sono consulente scientifico per una manifestazione culturale che si sorregge in larga parte sul finanziamento privato (piccoli commercianti e grandi imprese) e dalla vendita dei biglietti, e che per prima in Italia ha avuto il coraggio di porre un biglietto su questo genere di proposta (incontri letterari). Ho sempre pensato che la cultura non possa essere totalmente gratuita, perché gli uomini di cultura e artisti non devono diventare dei saltinbanco costantemente in tour autopromozionale. D’altra parte questo genere di iniziative necessitano sempre di finanziamento pubblico, è utopistico pensare che si possano sorreggere da sole. Per questo apprezzo particolarmente questa frase:

Lo dico in modo brutale: abituiamoci a dare i nostri soldi a qualcuno che li userà per produrre cultura e profitti. Basta con l’ipocrisia delle associazioni o delle fondazioni, che non possono produrre utili: come se non fossero utili gli stipendi, e i favori, e le regalie, e l’autopromozione personale, e i piccoli poteri derivati.

C’è però da dire che il livello culturale di questa manifestazione non è mai stato di livello eccelso, proprio perché se ne sta sul mercato, in equilibrio tra proposta intelligente e ultime mode. A volte mi sono chiesto che senso avesse proporre idee predigerite ad una massa di persone più desiderose di toccare lo scrittore di fama che non altro. D’altra parte ho fatto anche parte di un’associazione culturale che difficilmente avrebbe potuto sostenersi in un regime di libero mercato, e le cui iniziative e servizi dedicate ad una fascia di (spesso privilegiati) senza reddito, quella studentesca,  sono necessarie e necessariamente gratuite. D’altra d’altra parte, sono stato a suonare a settembre [qui] per una ristrettissima elìte di artistoidi autoreferenziali che si organizzavano il loro festival, e mi sono chiesto che senso avesse finanziare una simile manifestazione. D’altra d’altra d’altra parte, ho fatto parte per breve tempo di una di queste piccole elìte, quella dei "compositori contemporanei", e mi sono sentito membro di una specie rara di eletti, veri e unici conoscitori della Verità Musicale, in via di estinzione e meritevoli di salvaguardia. D’altra d’altra d’altra d’altra parte ho in odio il baraccone inutile e costoso dell’opera, questa cultura della restaurazione inutile e anzi dannosa per il progresso dell’arte in Italia che risucchia la maggior parte dei finanziamenti pubblici.

Non riesco quindi a trarre nessuna utile conseguenza dalla provocazione di Baricco, solo pensieri contrastanti. Però. Però… Sono convinto di un paio di cose. Primo.

Che senso ha salvare l’Opera e produrre studenti che ne sanno più di chimica che di Verdi?

Non è certo l’eccesso di insegnamento scientifico il male culturale di questo paese, anzi, è vero il viceversa. Forse gli è sfuggita, ma io leggo questa frase quasi come una dichiarazione di guerra all’"altra cultura", quella minoritaria. Credo che Verdi (soprattutto Verdi) possa passare, che si possa apprezzare l’Opera senza bisogno di sapere chi è l’autore (alla fine è musica con una storia attaccata, bisogna saper apprezzare la musica e la storia senza sapere che musica è, altrimenti siamo degli intellettuali senz’anima!), e che si debba sapere più di scienza. Incluso, tra le altre, quel meraviglioso costrutto logico-scientifico che è l’armonia tonale.

Credo che in questo si debba vedere la differenza tra culture. Non tra umanistico e scientifico, ma tra contenuto e funzione, storia e filosofia, letteratura e grammatica, tabelline e logica, storia della musica e armonia. Imparare e capire. Di questo non parla nessuno, è un mio chiodo fisso. Vorrei che uno uscisse da una scuola senza sapere chi è Leopardi, ma avendo ben chiaro in testa che se A implica B allora (non B) implica (non A), e che se io avessi, allora avrei. Se non si impara questo, non si può leggere un giornale, non si può parlare italiano, e chi non parla non pensa: è inutile farsi una cultura.

Secondo, io non vorrei mai, mai e poi mai che questo governo disponesse di più soldi da riversare in propaganda e disinformazione, togliendolo miratamente alle iniziative culturali a loro sgradite (li togliessero all’opera e alla fiction all’italiana!). Inoltre, la gente non vorrebbe un programma di libri in prima serata. Bisognerebbe imporlo, con una volontà moralizzante ed educatrice dello Stato. Io sono d’accordo, Baricco forse no, purché ancora una volta non sia questo governo a doversi occupare della cosa. La sola parola d’ordine in questo momento è resistere.

Matematici, leggete con prudenza, pena succitata.

Sono in cerca di un teorema, ma anche solo di un’indicazione, o di un’intera teoria… Conosciamo tutti il teorema di Stokes che riconduce il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie alla circuitazione del campo lungo il bordo che contiene tale superficie. Impiegando una notazione più generale, valida per generiche forme esterne:

Supponiamo ora che il rotore del campo abbia significato fisico, e chiamiamo A il "potenziale". In ottica informazionale, possiamo affermare in qualche senso che l’informazione fisica del sistema è tutta contenuta nel potenziale lungo un bordo di dimensione inferiore, una sorta di principio olografico. La fisica infatti è invariante per trasformazioni di gauge (calibro) del potenziale A:

ove

In termini matematici, A e A’ sono coomologhe. Questa simmetria incorpora un certo grado di arbitrarietà, che riduce i gradi di libertà fisici. In effetti, quanti gradi di libertà si porti via  la simmetria di gauge è una faccenda delicata. In elettromagnetismo classico, si dimostra che a seguito del gauge fixing gli stati di polarizzazione dell’onda elettromagnetica sono ridotti da tre a due. In QFT, il gauge fixing è una faccenda complicata, per colpa delle maledette copie di Gribov. E non mi sono preoccupato di studiare il formalismo delle teorie di gauge in dimensione arbitraria, ma non è questo che è rilevante per quanto segue.

Quello che vorrei sapere è questo. Visto che l’integrale del rotore uscente da una superficie è pari all’integrale del potenziale lungo il bordo, mi chiedo se (in ordine decrescente di improbabilità):

1) esiste qualche teorema di ricostruzione che permette di conoscere il rotore in ogni punto della superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

2) visto che in uno spazio tridimensionale le superfici racchiuse da un bordo sono infinite, esiste qualche teorema di ricostruzione e selezione che permette di conoscere il rotore in ogni punto di una qualche specifica superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

3) visto che siamo sempre in tre dimensioni, esiste qualche teorema che permette di conoscere il rotore in ogni punto interno di un tubo conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo del tubo?

4) altrimenti, esiste un qualche teorema che ci dice qual è l’informazione minima necessaria indispensabile per poter ricostruire il valore del rotore del campo in ogni punto dello spazio?

5) tutto ciò potrebbe avere a che fare con la fantasmagorica coomologia di De Rham?

Insomma, mi piacerebbe sapere se esistono risultati che permettono di comprimere l’informazione contenuta da un rotore in un certo volume nel valore del suo potenziale in uno spazio di dimensione inferiore, ed eventualmente conoscere un metodo per compiere la decompressione. Fantamatematica?

Update. Ho l’impressione che la risposta possa venire da qui, anche se in maniera diversa da quello che pensavo: in gauge theory, a Wilson loop is a gauge-invariant observable obtained from the holonomy of the gauge connection around a given loop. In the classical theory, the collection of all Wilson loops contains sufficient information to reconstruct the gauge connection, up to gauge transformation (da wiki). In particolare il problema della risoluzione è affrontato qui.

…e non il grande Parisi Giorgio, ma il piccolo, piccolissimo, Parisi Arturo (guardare senza audio), zero carisma, intelligenza, autorevolezza, con le sue ridicole ambizioni di leadership inaspettatamente riaccese alla vista dello scranno vuoto. Ditemi se non è lui.

Ho iniziato a scrivere ma mi sono inceppato. Il livello musicale di Sanremo e’ talmente basso che non vale neanche la pena stroncare. E il morale dei PDini talmente basso che non vale la pena infierire. E le prospettive cementifere della Sardegna cosi’ sordide che non ho il coraggio di pensare. E l’indignazione per la mancata indignazione dell’opinione pubblica per La notizia dell’altro giorno e’ faticosa da sostenere. Un paio di considerazioni maturate davanti a qualche bicchiere da Ubaldo.

[(wind)mills] E’ una battaglia contro i mulini a vento, per questo nessuno (a parte Di Pietro) la combatte piu’. Ma non farebbe male ricordarsi ogni tanto che il nostro premier e’ un corrotto ed un corruttore, oltre che un despota golpista. Perche’ e’ un colpo di Stato, per quanto democraticamente fattibile prolungarsi la permanenza al potere impedendo alla giustizia di fare il suo corso. Popper sbagliava, le democrazie possono suicidarsi. Nel resto del mondo sarebbe caduto il governo l’altro giorno. Da noi e’ caduta l’opposizione e Berlusconi ha esteso il suo potere in Italia.

[info] L’opinione pubblica e’ narcotizzata per due motivi, anzi per via di due precise strategie. 1) La notizia non e’ stata data in apertura di giornale o telegiornale, ma tra le altre noiosita’, infarcita di parole (Mediaset, lodo, atti giudiziari etc.) dal sapore vagamente familiare ma difficili da decodificare; passava il messaggio che Berlusconi non fosse coimputato nel processo, salvo solo per una legge fatta su misura, ma che fosse in qualche modo parte lesa dalle parole diffamatorie di Mills. 2) L’operazione di delegittimazione del potere giudiziario ha portato i suoi frutti: oggi la gente crede veramente che i processi contro Berlusconi siano montature politiche, e ci ha fatto l’abitudine che ogni tanto qualche magistrato impenitente lo mette sotto indagine. A nessuno viene il dubbio che Berlusconi sia colpevole di almeno qualcuno dei reati contestatigli.

[intercet] I politici si scandalizzano che i politici vengano indagati, intercettati etc. Ma la gente dovrebbe rendersi conto che non si tratta di accanimento. E’ assolutamente normale che un politico abbia rapporti con tutti, buoni e cattivi, imprenditori, preti, altri politici, mafiosi, etc. Se si comporta onestamente e in buona fede, nell’interesse dei cittadini, non ha nulla da temere, ma deve sopportare di essere sotto la lente, sempre sotto pressione, e deve essere estremamente attento a non mettersi in situazioni imbarazzanti o peggio. Questo passaggio, la fiducia nella giustizia, e’ stato fatto saltare ad arte dalla politica grazie alla malagestione della giustizia, non certo imputabile a giudici e magistrati, e alla strumentalizzazioe di alcuni casi controversi.

[wartere] E siamo a Wartere. Umanamente, mi dispiace per lui. Politicamente, no, ma non credo che chi verra’ potra’ fare molto meglio. A meno che non si chiami Obama (a proposito, qui su questioni scientifiche. In principio parte bene). Ma, sadicamente, un po’ godo nel vederlo disilluso, e spero che crepiti in lui la stessa acrimonia che nutre Romano Prodi nei suoi confronti. Wartere ha contribuito moltissimo a terminare il governo Prodi, facendo accordi trasversali sulla legge elettorale che hanno irritato un po’ tutte le anime. Adesso perisce dello stesso male, e non puo’ neanche tornarsene nella sua Roma perche’ nel frattempo sono arrivate le camicie nere (e Rutelli non si vergogna ad andare in giro per palazzi romani). Non che il governo Prodi fosse questa meraviglia. Ma, mi dispiace dirlo, ce lo ricorderemo come il governo piu’ a sinistra della recente storia repubblicana, e come uno dei migliori. Come dice malingut, Romano Prodi sarebbe ancora l’unico genio della politica che riuscirebbe a fare il miracolo. Non ne vedo altri (ma tifo Soru).

…alias gli Stati Stazionari dell’equazione di FokKer Planck, con una divergenza ultraviolenta verso le serie divergenti.

E’ cogente in tempi di crisi l’individuazione degli stati stazionari cui il sistema econo-sociale 2.0 (o’ sistemone aleatorio, una super-martingala per gli addetti ai lavori) tenderà a portarsi ergodicamente ad uno stato stazionario. Pronti stavolta a prestar fede ad ogni Cassandra, desideriamo sapere se questo agognato nuovo ordine vedrà il prezzo dell’acqua superare quello della benzina, oppure se restaurerà livelli di consumi e sfruttamento consoni al nostro stile di vita. Il nuovo equilibrio potrebbe prevedere la riduzione delle civiltà occidentali in schiavitù sotto il gioco dell’Impero di Cindia o la scomparsa del genere umano dalla faccia del pianeta. Ma prima, molto prima di imbracciare la sfera sarebbe utile sapere se esiste uno stato stazionario, e se ne esiste uno o molteplici, così eventualmente ci dirigiamo verso quello più promettente.

Serie divergenti

In matematica prima di dare aria alla bocca bisogna sapere che le cose di cui si parla esistono, altrimenti possono succedere brutti sherzi. Non bisogna essere troppo pedanti però, checché ne dicano i matematici quasi tutta la matematica parte da intuizioni "fisiche" (questo articolo di Arnold in proposito è storico, leggere la prima frase). Come messo in luce nella magnifica introduzione del libro storico di Hardy sulle serie divergenti, quando i matematici erano fisici si potevano scrivere cose come questa (sic!):

(I)    1 - 1 + 1  - 1 + … = 1/2

o questa:

(II)   1 - 2 + 3 - 4 + … = 1/4

senza preoccuparsi troppo di definire. Ecco per la cronaca la dimostrazione banale della prima:

s := 1 - 1 + 1 - 1 + …

= 1 - (1 - 1 + 1 - … )

= 1 - s

Quindi 2s = 1  e la somma risulta 1/2. Della seconda:

 t := 1 - 2 + 3 - 4 + …

= (1 - 1 + 1 - 1 + …) - (1 - 2 + 3 - 4 + …)ù

= s - t 

Quindi 2t = 1/2. Sembra pazzia? C’è di peggio. Ad Hardy giunse un giorno la lettera di un giovane autodidatta indiano in cui era annotato:

1 + 2 + 3 + 4 + … = - 1/12

La somma di tutti i numeri naturali è un numero negativo, una frazione dell’unità! Qual è il trucco? Il trucco è che queste serie infinite non sono definite tramite la somma usuale, ma in altro modo, un modo che conferisce significato ai simboli, un significato diverso da quello che conosciamo ma che in qualche modo ne conserva le proprietà, in particolare associativa, distributiva, e che coincide con il significato usuale quando questo ha senso.

La lezione è questa: le cose esistono a seconda del senso che attribuiamo loro, e attribuirgliene uno è un lavoro da fisici. L’esistenza diventa una questione di coerenza.

Stati stazionari

Ma ho decisamente sforato, e per non farvi sfiorire dalla noia torno sui miei passi. Dicevamo dell’esistenza ed unicità. Un problema importante per lo studio delle equazioni di diffusione (Fokker-Planck) ed in generale delle equazioni alle derivate parziali è l’individuazione degli stati stazionari, gli stati invarianti nel tempo, laddove la caratterizzazione dell’intera evoluzione è sovrumana e nota solo in casi eccezionalissimi. Ma prima ancora viene l’esistenza e l’unicità, e nel pacchetto si desidererebbe anche l’ergodicità che assicura che se esiste ed è unico lo stato stazionario, il sistema effettivamente ci tende (quasi)-qualunque sia lo stato iniziale. L’impressione è che le risposte non siano complete; da quel che leggo qui

The existence and uniqueness of stationary distributions for this Fokker-Planck equation is still an unanswered question

ma in riferimento ad un’equazione di Langevin di campo con rumore complesso, utile per la quantizzazione stocastica. Per quanto riguarda l’equazione di FKP, il problema è affrontato nella maniera più completa qui, e mi riprometto di leggere, studiare e commentare. Ma per il corollario al discorso precedente, siccome queste equazioni hanno senso fisico, devono "accadere" in qualche luogo dell’Universo, allora si può dar per scontato che si comportino come ragionevolmente l’intuizione fisica indica.

Per ora solo alcune considerazioni banali. L’eq. FKP è un’equazione di continuità per la densità di probabilità

ove la densità di corrente è data da

I vettori si considerano in R^n, D(x) è la matrice di diffusione, che si suppone invertibile, e \mu(x) il vettore di deriva. L’equazione differisce da quella abituale in quanto ottenuta, per ragioni di opportunità fisica, in discretizzazione cinetica. Il passaggio alle altre interpretazioni consiste in una ridefinizione del vettore di deriva. Gli stati stazionari dell’eq. FKP sono dati pertanto dall’annullarsi della divergenza della densità di corrente, cosa che si verifica in due casi:

1) Correnti nulle

L’annullarsi della corrente implica

       (1)

Iil campo a dx è conservativo, e pertanto anche irrotazionale (se siamo in n=3), o più genericamente esso è una 1-forma chiusa:

il che implica che per ogni i,j indici vettoriali si ha

      (2)

Scrivo queste relazioni ovvie solo per evidenziare che  (2) è una forma di bilancio dettagliato. Più conformemente con il bilancio dettagliato noto in analoghi processi su spazio degli stati discreti, integriamo in (1) lungo un qualsiasi percorso \gamma che collega i due punti x e y:

      (2)

Se lo spazio degli stati è connesso (il campo nullo non isola porzioni di sistema), ogni stato può essere collegato ad un arbitrario x e si può intendere la (2) come un’espressione esplicita per la densità di probabilità in y, a meno di una costante di normalizzazione. Questa è una relazione di bilancio dettagliato. Sarebbe interessante (A) dare un senso all’espressione

      (2)

Con un po’ di teorema di Girsanov dovrebbe essere un fatto pacifico. (B) Dare un’espressione in termini di integrale sui cammini, in vista di una generalizzazione a stati stazionari di non-equilibrio. Notiamo prima di chiudere che il campo conservativo non è la deriva, campo di forze deterministico che compare nell’EDS associata, ma una combinazione di rumore (fluttuazione) e di deriva (dissipazione). Quando questo rapporto è proporzionale ad x si ottiene la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e la relazione di dispersione di Einstein:

      (2)

ove \beta è la temperatura inversa del bagno termico. Questo può suggerire (C) un modo di definire la temperatura localmente lontano dall’equilibrio, purché valga localmente l’equipartizione dell’energia e coincida con l’energia cinetica media in un intorno di ogni punto. Abbiamo visto che se lo stato stazionario è d’equilibrio, il campo è conservativo. Viceversa un campo conservativo ammette uno stato stazionario d’equilibrio. Ma è unico?

2) Correnti solenoidali

Gli stati stazionari con densità di corrente nonnulla si dicono di non-equilibrio, perché un’azione esterna (affinità) mentiene accesi tali flussi di probabilità. In dimensione 3 la corrente è solenoidale

mentre nel caso generico dovrò andare a ripassare un po’ di geometria differenziale per le forme esatte e la derivazione esterna. Ora mentre abbiamo appurato che conservatività ed equilibrio sono intimamente collegate, non abbiamo però veramente mai escluso che un campo conservativo abbia soltanto soluzioni di equilibrio. Il fatto non mi è ovvio.

Chiaramente gli stati stazionari di non equilibrio sono molto più complessi da individuare. Un’idea (D) è che sia possibile generalizzare con tecniche di integrazione funzionale la costruzione per alberi di Schnakenberg, almeno da un punto di vista formale. L’altra strada percorribile è di studiare le conseguenze dell’invarianza di gauge della teoria. Il potenziale vettore A è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

che si porta via informazione, altrimenti la corrente sarebbe sovradeterminata. Allo stesso modo in EM classico la simmetria di gauge si porta via un grado di libertà non fisico del campo elettromagnetico (uno stato di polarizzazione del fotone). Questa riduzione di informazione si legge anche nel teorema di Stokes:

L’informazione contenuta in una qualsiasi superficie limitata dal bordo \Sigma è contenuta nel bordo. Ci si può chiedere quanto e cosa si possa ricostruire di J con la sola conoscenza di A sul bordo, e quant’altro serve per conoscere tutta la densità di corrente. Quanto, come e dove si riesce a comprimere l’informazione? La domanda ha grande rilevanza fisica perché scopo ultimo della termodinamica di non-equilibrio è quello di descrivere le correnti e le forze microscopiche in termini di poche correnti e forze macroscopiche e di esprimere gli stati stazionari in termini di queste coppie di grandezze intensive vs. estensive, generalizzazioni dei potenziali termodinamici, e come soluzioni estremali di un problema variazionale (MAXENT).

In teoria questo è un abbozzo di progetto di ricerca per il dottorato, abbastanza fumoso da essere spacciato in ogni sede istituzionale. In pratica presumibilmente mi occuperò di tutt’altro.

1) Teoremi di fluttuazione in meccanica statistica di non-equilibrio. I teoremi di fluttuazione sono risultati esatti di meccanica statistica di non-equilibrio che hanno validità molto generale, ma ad oggi scarsa applicabilità. Essi quantificano la rottura dell’invarianza temporale nell’evoluzione di un sistema a seguito della dissipazione. Particolarmente ricca appare la formulazione di tali teoremi su network, che consente una caratterizzazione semplice degli stati stazionari di sistemi forzati in termini di forze termodinamiche macroscopiche e correnti coniugate. In continuità con il lavoro di tesi di laurea, si intende proseguire l’analisi della letteratura sull’argomento, con l’obiettivo di studiare possibili generalizzazioni dei teoremi, per esempio nel caso di ensemble statistici non indipendenti (particelle interagenti perturbate stocasticamente), di simmetrie più generali rispetto all’inversione temporale, e di specificarne i limiti sperimentali di validità. Questi teoremi possono consentire di individuare osservabili macroscopici rilevanti per lo studio dei modelli specifici di cui al punto 3.

2) Dinamica stocastica di gas di particelle o automi con interazioni. In ambito fisico le equazioni differenziali stocastiche, impiegate per esempio nella modellizzazione del moto browniano non-lineare, descrivono l’evoluzione di realizzazioni indipendenti di un processo stocastico, quali le traiettorie di particelle mesoscopiche perturbate da rumore. Corrispondentemente, ensemble di condizioni iniziali evolvono secondo equazioni di diffusione, o equazioni master nel caso di processi definiti su network discreti, conservando l’indipendenza statistica per ogni singola particella. Si vuole studiare generalizzazioni di questi approcci ammettendo che il rumore e/o le forze deterministiche agenti sulle particelle dipendano dallo stato delle altre particelle, con tecniche perturbative e di campo medio autoconsistente. In particolare si vuole caratterizzare gli stati stazionari di equilibrio o di non-equilibrio e verificare l’ipotesi che questi possano mostrare fenomeni di auto-organizzazione e transizioni di fase verso stati caotici.

3) Modellizzazione di sistemi cognitivi. La finalità degli studi teorici menzionati è quella di offrire un framework teorico di riferimento per una parallela attività di modellizzazione, analitica e numerica, di sistemi caratterizzati da una dinamica di tipo cognitivo, e di confronto di tali modelli con dati sperimentali attinti dalla mobilità urbana e dalla mobilità pedonale. I modelli in questione studiano il comportamento di gas di automi la cui dinamica su network sia influenzata da fattori esterni, quali l’affollamento dei nodi (per simulare fenomeni di congestione), o più in generale tramite l’introduzione di funzioni di utilità che favoriscono o sfavoriscono transizioni lungo i rami del network dipendentemente dallo stato del sistema. L’obiettivo è quello di studiare l’insorgenza di stati stabili o metastabili autorganizzati e l’eventualità di transizioni di fase rispetto ad un parametro d’ordine rappresentato dall’affollamento del network, in particolare verso stati caotici caratterizzati da una variabilità accentuata della funzione di utilità, in cui siano privilegiate scelte individuali apparentemente irrazionali (che non estremizzano opportuni funzionali).

Dopo un altalenarsi di vicende sconvolgenti siamo finalmente all’altalena. Come al solito, quanto segue è parascientifico, frutto di speculazioni dell’autore. L’altra volta avevamo raccontato la storia di un omino sfortunato imprigionato in precario equilibrio sulla sommità di una montagna. Non finì bene. Il post titolava l’altalena stocastica, ma di altalene non si era parlato. E’ per questo che stavolta vogliamo parlare dello skateboard.

La situazione è questa. Siete in piedi su uno skateboard fermo e volete partire, senza mettere il piede a terra. Con un po’ di gioco oscillatorio di gambe e busto riuscite a mettervi in moto in una direzione, certo senza mai raggiungere velocità strabilianti. Provare per credere: se non ci riuscite avete qualche problema di sensibilità motoria. Siete dunque in moto, e si palesa il paradosso: una forza interna al sistema skateboard+skateboarder ha apparentemente determinato una variazione nella velocità del centro di massa complessivo del sistema. Come visto, la soluzione del paradosso è da ricercarsi nell’attrito delle ruote con il suolo, che agisce come forza esterna, perché se non ci fosse attrito, per quanti sforzi voi facciate non c’è verso di partire.

L’attrito che si genera tra due superfici a contatto (radente o volvente che sia) ostacola un moto opponendogli una forza contraria approssimativamente proporzionale alla (componente perpendicolare al piano della) forza peso dell’oggetto. Tuttavia, se la forza è molto debole potrebbe non essere in grado di superare un piccolo scalino iniziale.

fig. L’attrito A in funzione della forza applicata F. Dopo l’iniziale identità, l’attrito cade attestandosi ad un valore G costante proporzionale al peso percepito dell’oggetto.

In figura è rappresentata la risposta dell’attrito ad una forza esterna. Come vedete, se spostate un oggetto (pensate ad un mobile) graduando la forza da meno intensa a più intensa, inizialmente l’attrito opporrà una forza esattamente uguale e contraria, finchè non raggiungerete un livello di soglia. A quel punto l’oggetto si muove ed improvvisamente la forza esercitata è più che sufficiente (a volte anche troppa) per spostare il mobile. Il motivo è che l’attrito è generato dal cozzare delle asperità microscopiche tra le superfici a contatto dei materiali e soprattutto dai legami chimici che si formano tra essi; quando in moto, i legami chimico-fisici non fanno in tempo a formarsi che già si devono sciogliere, mentre in una situazione inizialmente ferma questi sono saldi.

Come si fà ad usare questo fenomeno per partire con lo skate? Inizialmente potete muovere delicatamente il busto in avanti, sfruttando il gradino per impedire alle ruote di scorrere indietro. Come spingendovi debolmente contro un muro, siete in grado di determinare un (seppur minimo) movimento del vostro centro di massa non bilanciato da un proporzionato e contrario spostamento del centro di massa della tavola. A quel punto vi riportate eretti dando uno strattone di gambe, che permette alle ruote di superare l’attrito statico e di marciare assieme a voi. Lo skater è ora l’agente esterno, in moto, che impone una forza alla tavola sufficiente a partire. Essendo la tavola un oggetto molto leggero, complessivamente l’energia cinetica guadagnata sarà considerevole, se confrontata con la debolezza delle forze d’attrito che l’hanno generata. Beninteso, che l’energia è pur sempre dissipata: la fatica immane non è giustificata da un così magro divertimento.

Per effetto dell’attrito in poco tempo sarete di nuovo fermi, ma sappiamo tutti che se si indovina una giusta frequenza di oscillazione, si riesce a proseguire. La dinamica successiva non può essere semplificata in maniera altrettanto banale, perché non essendo fermi non c’è più il meccanismo del gradino, ma ci saranno meccanismi più sofisticati. Inoltre muoversi così in skateboard è talmente frustrante che è faticoso persino pensarci. Quindi godetevi mentalmente una bella discesa, e alla prossima.

via scriptabanane 

 
[binetti] Una dei primi firmatari dell’appello di Formigoni, tramite il Giornale, a Napolitano è Paola Binetti, a fianco ai nomi di Paolo Giorndano, Buttiglione, Ferrara, Quagliariello. Visto che è già là, perché non invitarla a rimanerci? Perché il PD non coglie l’occasione per disinfestare? Appello di ToMaTe al PD:

Fermate questo insulto incivile e tragico. Fuori la Binetti!

[piddi] La posizione del PD sull’intromissione del governo in vicende private e giuridiche, sulla pesante ingerenza del Vaticano, e sul DDL che da domani sarà in discussione al Senato è NP. Corteggiano un’amante infedele, che li cornifica con la destra quotidianamente. Walter si è espresso solo sul terreno facile della difesa della Costituzione. Il PD sta lasciando che, mentre l’opinione pubblica (almeno quella fetta che dovrebbe rappresentare) è ampiamente schierata con Beppino Englaro, la discussione politica sia monopolizzata. Guardando il Tg1 mi sono sentito come mi sentivo un mese fa per l’attacco alla striscia di Gaza: un sovversivo, un diverso, un alternativo, perché l’informazione in TV è pensiero unico.

[corsaltempo] E Berlusconi dice: non si capisce l’urgenza di spegnere le macchine, che tra pochi giorni arriva la legge. Allora non si capisce neanche l’urgenza della legge, che tra pochi giorni saranno spente le macchine. E’ come se due facessero una gara di corsa e quello indietro urla "No, aspetta", l’altro aspetta, viene superato e perde.

[kung] E invece una posizione affine l’ho trovata, dall’Annunziata (finalmente serve a qualcosa quella lustrascarpe). Si tratta del mitico teologo conciliarista Hans Kung, tra i maggiori critici di papa Wojtyla, e non è tenero con Ratzinger. La questione Englaro liquidata in tre secondi: sul piano giuridico, in mancanza di norme il padre ha la potestà. Sul piano teologico, Kung ricorda di aver studiato all’Università Gregoriana che la teologia ufficiale della Chiesa Cattolica non ammette l’oltranza della vita con mezzi meccanici, come scritto nero su bianco in un documento del 1980. Poi prosegue denunciando lo spostamento a destra della curia imposto da Ratzinger e il distacco con l’episcopato e il sacerdotato, la grave crisi della "cristianità di base", la spinta anticonciliarista in cui si ascrive anche il reintegro dei lefebvriani.

[teologia] Le parole di Kung mettono in luce che non c’è un’elaborazione teologica da parte del Vaticano della vicenda Englaro, c’è solo una posizione politica presa malamente nel nome di una fumosa "difesa della vita". Una vita meramente biologica, definita da funzioni organiche che nulla hanno di spirituale. Chi direbbe che l’"anima" di Eluana è ancora in quel corpo? Se vi è, è prigioniera. Con le tecnologie a disposizione si potrebbe riuscire a tenere in vita anche un agglomerato di organi, un cuore, un fegato, un utero, un ammasso di cellule cerebrali, e nessuno potrebbe argomentare che quelle funzioni contengano o non contengano "vita". Con il paradosso che si ritrovano gli integralisti a disquisire se la vita umana sia definita dall’attività cerebrale, piuttosto che dalla respirazione, piuttosto che dalla possibilità del concepimento, e a presupporre che la scienza abbia risposte inoppugnabili. Penso che la teologia sia più profonda di questo: non sono proprio loro che dovrebbero insegnarci che la vita non ha solo valore materiale, che c’è qualcosa di più profondo, di più ricco, che è fatta di relazione tra uomini, di amore e pietà, e di relazione degli uomini con "Dio", con il "cosmo", o semplicemente con la natura di cui l’uomo è un sottosistema? Non è proprio la religione qualcosa che riempie di senso la vita, interpretando la morte come parte ineluttabile e fondamentale di questo senso? Cristo è morto in croce e lo sapeva benissimo, e non vi si è sottratto: la sua morte terrena era piena di senso. Così quella di Eluana. E invece la loro posizione è riduzionista, scientista e materialista: una tradizione che viene dalla rilettura cristiana di Aristotele da parte di Tommaso d’Aquino, e che ha reso il Cristianesimo una religione con al centro l’uomo materiale, e non il Dio spirituale (per contro, i filosofi greci erano molto più "spirituali"; un’interpretazione che mutuo da Cacciari).

[lalegge] A dimostrazione dello stato confusionale della chiesa. Quando e se ci sarà una legge che permetterà a qualsiasi Eluana che sia stata a conoscenza della necessità di scrivere un testamento biologico di poter morire in pace, come si esprimerà la Chiesa sulla possibilità sancita per legge di disporre della propria vita? La Chiesa non dovrebbe permetterlo, come non ammette il suicidio: il paradosso si risolve restituendo un significato un po’ più alto alla parola "vita".

[milk] Ieri sera ho visto Milk, storia del primo gay dichiarato ad accedere a cariche pubbliche e della lotta per i diritti delle minoranze a San Francisco, nel contesto di un’America cristiana bigotta e fanatica. Beh, ho pensato che noi ci stiamo avvicinando a quel clima. Verso il cuore di tenebra.

ovverosia, il testamento di ToMaTe.

E che sia biologico!

Il sottoscritto blogger, nel caso si dovesse venire a trovare nella condizione di non potersi alimentare autonomamente, dà disposizione perché gli siano somministrati:

- un bicchiere di vino per pasto, e non fate i tirchi   

- pastasciutta o risotto ben conditi, una volta al giorno

- fagioli, una volta alla settimana 

- la domenica a pranzo, tagliatelle in brodo con lambrusco

- il venerdi pesce (togliete le lische che se si infilano nei tubi poi diventa eutanasia) 

- un bicchierino di grappa al sabato sera  

-  a Natale, lumache alla bourghignon e budino belga, con Franciacorta brut 

- un cerotto Nicorette tutte le sere

- un infuso di marjuana (con principio attivo), ogni tanto

- verso gli ultimi istanti, un infuso oppiaceo o lisergico 

- musica: Bach suonato da Glenn Gould, Kind of Blue e le principali novità discografice indie

Ma soprattutto, questo trattamento dovrà durare il minimo tempo possibile dopo che medici competenti e familiari, e non politici e cardinali, abbiano accertato che non vi è ragionevole possibilità di un ritorno ad uno stato cosciente, secondo le conoscenze scientifiche disponibili in quel momento, e non secondo credenze religiose millenarie, e che lo spegnimento delle macchine deve essere condotto nell’intimità, il più possibile lontano da palcoscenici mediatici. Con le energie risparmiate vengano curate persone che possono guarire.

PS. Vorrei sottolineare, a beneficio dei credenti, che escludo categoricamente ogni possibilità di una conversione religiosa negli ultimi istanti di vita, e che mi rifiuterò di "comunicare" con suore e preti che dovessero venire a trovarmi o ad assistermi.

Oggi sono tornato brevemente a distrarmi con un po’ di fondamenti della matematica. Non avevo mai notato nelle precedenti peregrinazioni solitarie un argomento classico come l’argomento diagonale di Cantor, che è spiegato benissimo nel solito posto che non linko neanche. L’argomento di Cantor è una specializzazione ai numeri reali del fatto che l’insieme potenza di un insieme non può essere messo in relazione biunivoca con l’insieme stesso. Ovverosia, preso un insieme A, l’insieme P(A) di tutti i sottinsiemi di A è sostanzialmente più grande di A.

L’argomento di Cantor serve a dimostrare che i numeri reali, intesi come insieme potenza dei naturali, e quindi come insieme di tutti i numeri "con infinite cifre decimali", non è numerabile, ovverosia non è possibile mettere tutti i numeri reali in fila uno per volta.

Supponiamo quindi per assurdo che sia possibile enumerare i reali. Sarà quindi possibile enumerare i reali compresi tra 0 ed 1. Scriviamo lo sviluppo decimale di questi numeri in codice binario, come se dovessimo programmare un computer (cambiare base non cambia l’essenza del ragionamento) ed enumeriamoli. Ad esempio si può avere:

1)  0 1 0 0 1 1 0 0 1 …
2)  1 1 1 0 0 1 0 0 0 …
3)  0 0 1 1 0 0 1 0 1 …
4)  0 1 0 0 0 1 1 1 0 …
5)  1 1 0 0 1 1 0 1 0 …

 
Prendiamo in considerazione le cifre diagonali. Queste formeranno lo sviluppo decimale di un numero reale x compreso in [0,1]:

x = 0.01101 … 

Costruiamo ora un numero y scambiando nello sviluppo decimale di x gli 0 con 1 e gli 1 con 0: 

y = 0.10010 …

Questo è ancora un numero reale compreso tra 0 ed 1, e quindi sarà enumerato tra gli altri. Supponiamo che sia in posizione k.

1)  0 1 0 0 1 1 0 0 1 …
2)  1 1 1 0 0 1 0 0 0 …
3)  0 0 1 1 0 0 1 0 1 …
4)  0 1 0 0 0 1 1 1 0 …
5)  1 1 0 0 1 1 0 1 0 … …

k) 1 0 0 1 0             …     0 1 ? 1 0

 

Ora è facile convincersi che la k-esima cifra decimale di y e la k-esima cifra diagonale, ovverosia la k-esima cifra decimale di x, sono la medesima cifra. Ma sono anche cifre opposte, per definizione di y! Questo è un assurdo, quindi l’ipotesi è falsa: i numeri reali non sono numerabili.

Questo ragionamento è basato sul paradosso del mentitore:

io mento.

Se mento dico la verità, e se dico la verità mento. Si costruisce una variabile booleana i cui valori di verità sono interdipendenti. Lo stesso procedimento è alla base della dimostrazione del teorema di Goedel, in cui a partire da un insieme di assiomi sufficientemente forte da permettere la caratterizzazione dei numeri naturali si costruisce una proposizione della forma

questa proposizione non è dimostrabile. 

Se falsa, allora dovrebbe esserne dimostrabile la verità, il che è assurdo. Quindi è vera. Ma se vera, allora non è dimostrabile, e quindi esistono proposizioni con un valore di verità definito all’interno della teoria ma che la teoria non permette di dimostrare. Inoltre segue come corollario che la proposizione che esprime la consistenza della teoria assiomatica è falsa: ovverosia la teoria stessa non può garantire di non portare a risultati contraddittori.

- - -

Devo confessare di essere scettico nei confronti di questo argomento, come del fatto che non esistano modelli numerabili dei numeri reali. Non che non ci creda, è che non ne sono convinto, e finché non vedo non credo. Ma non sono pronto a sostenere delle tesi, ci devo ragionare (e studiare) un po’. Per quanto riguarda il ragionamento di Cantor, quello che è fallace è la caratterizzazione dei numeri reali come numeri "di infinite cifre decimali". Per specificare una quantità continua di tali numeri serve infinita informazione. Ma se ammettiamo che la logica tratti solo predicati finiti, il numero diagonale non è definibile, e quindi non è possibile sapere quale è la sua enumerazione. I corretti assiomi dei reali sono quelli di Dedekind, e la mia preoccupazione è che non sono sicuro che coincidano con la comprensione euristica di numero reale come numero di infinite cifre decimali.

Bagnasco su l’Avvenire stamane, sudbolamente rovescia il significato delle parole:

"Eluana ha iniziato il suo cammino forzato verso la morte".

Cosa vuol dire forzato? Da appassionato di teoria dei sistemi complessi, userei la parola "forzato" riferendomi ad un sistema che versa in uno stato di non-equilibrio, più o meno stabile, mantenuto stazionario da forzanti esterne. I sistemi forzati hanno una dinamica frustrata imposta dall’esterno, che gli impedisce di tendere all’equilibrio. Dove l’equilibrio, lo stato di massima entropia, in questo caso, è la morte e la decomposizione: l’unico stato in cui il sistema si porterebbe spontaneamente. Di forzata c’è solo l’alimentazione.

Decomposizione che peraltro sta già avvenendo, in senso letterale di de-composizione, destrutturalizzazione. Il corpo di Eluana non è oggi quello che era nella foto radiosa incastonata nell’immaginario collettivo. L’anestesista che l’ha presa in carico è rimasto shockato (come si scrive?) vedendola come è oggi (ma solo l’Avvenire sa esattamente cosa prova il dottore e che lui stesso non sa), anche lui truffato dalla montatura mediatica. E lui è un medico. Forse se un po’ di integralisti cattolici l’avessero vista avrebbero abbandonato in fretta il presidio davanti alla clinica di Udine. Forse se Silvio Berlusconi l’avesse vista avrebbe decomposto i suoi pensieri e avrebbe evitato di dire una volgarità così abnorme. Che ha fatto scaturire in tutti la domanda altrettanto cinica che pochi hanno l’impudicizia di esprimere: ci penserà lui a renderla interessante?

Ci vorrebbe ora un bel caso di clandestino attaccato alle macchine nello stesso stato comatoso irreversibile di Eluana, senza speranza e anche senza nome, senza documenti, magari pure brutto in vita come in morte. Con il respiratore, il sondino e le manette. E che succhia migliaia di euro dalle casse dello stato. Veramente vorrei vedere le facce dei leghisti a confronto con un caso del genere.

Uno degli aspetti più irritanti della vicenda è l’attacco personale a Beppino Englaro. Il quale se avesse voluto avrebbe potuto spegnere sua figlia dieci anni fa nel silenzio, come succede quotidianamente in tutti gli ospedali d’Italia. Invece ha iniziato una battaglia civile per dare un senso alla propria vita e a quella della figlia, per fare le cose come si deve, alla luce del sole. Ora provano in tutti i modi (ancora l’Avvenire stamattina) a metterne in dubbio l’integrità, insinuando che la vita della figlia e la sua volontà sono state travisate. Le suore che dicono: "Datela a noi", come dire, se lui non la vuole più, noi siamo più buone. Ma il simulacro di Eluana Englaro non è a disposizione di chi vuole. E’ di suo padre. Punto. Potrebbe anche non aver mai detto esplicitamente di voler morire in una condizione simile, ma non importa: suo padre è l’interprete dei pensieri della figlia, è lui il depositario della sua tragedia. Questo principio non si discute, altrimenti altroché famiglia: soltanto dio e patria.

Invece la Chiesa sta facendo di Eluana un simbolo della cristianità in questa battaglia che non può permettersi di perdere, perché ormai ha assunto enorme valore simbolico. E se Eluana morirà, ci potrei scommettere che inizierà la procedura di canonizzazione, beatificazione, santificazione. Santa Eluana martire di suo padre e del razionalismo illuminista. Siccome non possono mantenerla in vita, tanto meglio farla passare nei propri ranghi in morte. Allora tanto vale cominciare subito: lancio io stesso la campagna

Eluana santa subito! 

Vedrete che non sarà difficile trovare tre miracoli. Una palpitazione, un singhiozzo, un riflesso appena prima di morire (sempre l’Avvenire riporta una tosse "che squassa le prime coscienze", le ultime anime dannate si vedrà). Una vecchietta che l’ha vista apparire (ma sempre giovane e bella, con i boccoli e il sorriso, altrimenti più che un’apparizione è un trip lisergico andato male). Un risveglio dal coma stimolato dal sussurro del nome "Eluana".

E scusate il cinismo, ma è abbastanza inevitabile quando ci si scontra con gente ipocrita. Quando Ferrara voleva portarle l’acqua, ho pensato: bravo, stacchiamole il sondino e poi prova tu a darle da bere con la bottiglietta, così forse ti accorgi che quello non è un organismo vivente. Chi è più cinico tra i due?

Update:  il Commento sulle parole di Berlusconi è questo.

Quello che sta succedendo in questi giorni segna a mio avviso uno dei punti più bassi, vergognosi e pericolosi della storia repubblicana italiana. A partire dall’obbligo alla delazione per i medici, che a mio avviso è destinato a cadere alla Camera, ma solo perché le associazioni cattoliche sono contrarie; in ogni caso, un provvedimento non solo ingiusto, ma anche pericoloso, per clandestini e italioti, per ovvie ragioni sanitarie. Proseguendo con i contenuti razzisti e discriminatori contenuti nel pacchetto sicurezza ad opera degli ottusi bifolchi leghisti. Ivi compreso l’obbligo per provider di filtraggio dei contenuti internet, antipasto ad una legge di marca SIAE-MinCul ben più limitante, di prossima elaborazione. La riforma della giustizia. E soprattutto la vicenda Englaro in tutti i suoi aspetti di scontro civile: la volgarità di Berlusconi, l’avanzata clericale (se siete abbastanza masochisti leggetevi l’Avvenire on-line stamattina…), gli attacchi spregiudicati personali a Beppino Englaro, eroe civile, e infine lo scontro istituzionale senza precedenti, con la minacciata modifica della Costituzione. L’intoccabile Vaticano che critica apertamente Napolitano. E un’opinione pubblica annegata nella televisione, che si esprime ormai solo su internet, i sondaggi sempre stabili sul gradimento stellare del Cav. (spero che un po’ sia sceso, almeno una palpitazione). Ho avuto questa percezione vedendo la sconfortante la rubrica "La Corriera della Sera" dell’altrimenti pessimo programma di Piroso NDP, in cui il giornalista sale sulla corriera e chiede ai presenti cosa si ricordano a sentir nominare "Englaro"," "Cesare Battisti", "giorno della memoria", ma incontra il buio pesto, e poi chiede che taglia porta la tizia del GF, dove gioca Beckham e riceve risposte appassionate.

Tornando alle vicende di questi giorni, Antonio di Pietro è indagato per vilipendio per aver (rozzamente) osato criticare il modo di operare del presidente della repubblica, malauguratamente accostando il suo silenzio all’omertà mafiosa (ma sono convinto che non lo  abbia fatto coscientemente, il che non è un’attenuante, ma un’aggravante casomai). In ogni caso il vilipendio impallidisce, nel momento in cui il sovversivo più spregiudicato presiede il Consiglio dei Ministri. Berlusconi ha sfidato il Presidente della Repubblica apertamente, minacciando di portare la gente in piazza. Questa è apologia di fascismo, un reato che persegue chiunque

"pubblicamente esalta esponenti, princìpi, fatti o metodi del fascismo, oppure le sue finalità antidemocratiche".

Nel quadro di realizzazione puntuale del progetto P2ista, questa deriva supera ciò che lo stesso Gelli avrebbe immaginato, e forse desiderato. La loggia P2 aveva infatti come finalità il mantenimento dell’ordine para-democratico democristiano contro il pericolo comunista, non il suo sovvertimento. Suona pazzesco che proprio l’ex-promesso-gerarca si trovi ora a difendere l’istituzione democratica a fianco del vetero-comunista, e senza ipocrisia (faccio outing: in Fini I believe).

Ho sempre pensato che la democrazia americana fosse una finta democrazia, con una costituzione melliflua e rattoppata, con tassi di populismo allarmanti, nessuna coscienza politica, storia, ideologia etc. Addirittura una dittatura morbida basata su un controllo sociale silenzioso, sull’ignoranza, la mistificazione, la manipolazione dell’informazione. Non che fossi fiero della corrotta gerontocrazia italiana, ma almeno io so cosa e perché voto. Ora ci ritroviamo a ruoli invertiti: noi abbiamo un problema democratico, e loro si rialzano dopo il tonfo. Loro ci hanno superato a sinistra. Pensavamo di aver raggiunto il fondo anche noi, ma evidentemente c’è ancora molto da scavare.

L’unica consolazione è che, se anche sta sparendo l’opinione pubblica, eppure quella che c’è è ancora in grado di difendere coi denti la Costituzione, che rimane un tabù per Berlusconi almeno finché quel pirla del "principale esponente dell’opposizione" non ha la bella pensata di scendere a patti. Sarà la Costituzione, per quanto antiquata, la prima pietra per la ricostruzione, dopo.

Un indovinello

Procediamo con ordine. Dal primo anno di fisica mi porto dietro questo paradosso non paradossale di mia ideazione. Sulla sommità di una montagna molto aguzza poggia precariamente una gabbia, e dentro la gabbia vi è un uomo che sta fermo in piedi, gambe aperte e braccia conserte, ormai da anni. Infatti il sistema è in perfetto equilibrio, e l’uomo teme che anche un piccolo movimento possa alterare l’equilibrio e farlo precipitare rovinosamente assieme alla gabbia.

In questi lunghi anni l’uomo passa il tempo cercando di ricordare e ricostruire le teorie fisiche che aveva studiato alle superiori, validando e falsificando le sue teorie con esperimenti pensati e cercando di capire come uscire da questa angosciosa situazione. Finalmente, si convince di poter circolare liberamente nella gabbia, e va.

Appena si sposta di un passo però la gabbia si inclina, un effetto che non aveva considerato. Disperato cerca di recuperare la posizione ma ormai è troppo tardi. La gabbia ruzzola giù dal promontorio e si sfascia ai piedi della montagna.

Pochi secondi prima di lasciare definitivamente questo mondo, un ultimo pensiero si fa largo tra i segnali di dolore nel suo cervello: dev’esser stata colpa dell’attrito. Come è possibile che l’uomo pensasse di salvarsi? Che cosa è successo veramente?

In questo meraviglioso articolo sul moto browniano non lineare Klimontovich chiarisce gli effetti fisici delle diverse interpretazioni dell’integrale stocastico, à la Stratonovich, à la Ito ed una terza interpretazione che lui chiama kinetic form. In particolare solo quest’ultima è consistente con la richiesta ragionevole che le particelle browniane tendano asintoticamente ad una distribuzione di Maxwell-Boltzmann, ovverosia una distribuzione di equilibrio canonico con una temperatura media mantenuta dal bagno termico delle particelle microscopiche. E’ proprio quest’ultima richiesta che forza una relazione di fluttuazione-dissipazione (diffusion-drift), una procedura di chiusura delle equazioni stocastiche di stampo fisico, assente nella trattazione generale dei processi stocastici*.

Il problema della trattazione di Klimontovich è che non chiarisce a priori l’interpretazione dell’equazione differenziale stocastica, ovverosia come è discretizzata. Ho quindi rifatto i calcoli. Consideriamo una particella browniana soggetta ad un drift dispari nella velocità e ad un rumore diffusivo:

ove W è un processo di Wiener.  L’interpretazione del differenziale stocastico è di Ito. Per passare da questa ad altre interpretazioni basta sommare al termine di drift un termine dipendente dalla derivata del coefficiente di diffusione, secondo le regole di trasformazione:

Ad esempio, l’interpretazione "end point" studiata in un recente post  si ottiene per \alpha = 1/2. L’equazione di Fokker-Planck per la distribuzione in velocità di singola particella si ottiene con un calcolo tradizionale e fornisce:

Sostituiamo ora (il fattore cinetico del)la distribuzione di equilibrio di Maxwell-Boltzmann:

Si ottiene la condizione

Questa è la relazione di fluttuazione-dissipazione cercata, che mette in relazione il coefficiente di diffusione con quello di deriva ed il coefficiente \alpha che contraddistingue l’interpretazione del differenziale stocastico. Vediamo che l’interpretazione "end point" semplifica quest’espressione fornendo la relazione di Einstein

generalizzata al caso in cui diffusione e deriva dipendono dal modulo della velocità. Una simile relazione si può ricavare senza dfficoltà nel caso multidimensionale. Ci sono ragioni indipendenti dal discorso fin qui affrontato per ritenere valide queste relazioni, ma questo è un argomento che dovrò approfondire. Pertanto l’esatta interpretazione del differenziale stocastico è quella "end point", e si scrive:

Ciò che Klimontovich chiama kinetic form corrisponde pertanto alla nostra interpretazione "end point", e un confronto più stretto mostra che anche le altre due interpretazioni coincidono. E’ in ogni caso curioso che questa interpretazione sia quella più adatta per una modellizzazione fisica, laddove essa appare come quella che "viola la causalità" nella maniera più radicale. Infatti "guardando infinitesimamente nel futuro" la discretizzazione cinetica fa seguire la causa alla conseguenza, ma tiene conto anche di un contributo di gradiente; quindi, in qualche senso che dovrei chiarire, ribaltando la prospettiva, il rumore sente sia lo stato della particella browniana sia la sua derivata prima.

Nota: in questo articolo la discretizzazione di punto finale viene chiamata convenzione isoterma. Presto una recensione.

Nota: in questo articolo invece pare che una procedura di discretizzazione di Stratonovich porti alla stessa equazione di diffusione cercata. Un po’ seccante.

* Forse anche l’equazione di Black-Scholes si può vedere come la chiusura di equazioni differenziali stocastiche rispetto ad una qualche relazione di fluttuazione-dissipazione?