In questo meraviglioso articolo sul moto browniano non lineare Klimontovich chiarisce gli effetti fisici delle diverse interpretazioni dell’integrale stocastico, à la Stratonovich, à la Ito ed una terza interpretazione che lui chiama kinetic form. In particolare solo quest’ultima è consistente con la richiesta ragionevole che le particelle browniane tendano asintoticamente ad una distribuzione di Maxwell-Boltzmann, ovverosia una distribuzione di equilibrio canonico con una temperatura media mantenuta dal bagno termico delle particelle microscopiche. E’ proprio quest’ultima richiesta che forza una relazione di fluttuazione-dissipazione (diffusion-drift), una procedura di chiusura delle equazioni stocastiche di stampo fisico, assente nella trattazione generale dei processi stocastici*.

Il problema della trattazione di Klimontovich è che non chiarisce a priori l’interpretazione dell’equazione differenziale stocastica, ovverosia come è discretizzata. Ho quindi rifatto i calcoli. Consideriamo una particella browniana soggetta ad un drift dispari nella velocità e ad un rumore diffusivo:

ove W è un processo di Wiener.  L’interpretazione del differenziale stocastico è di Ito. Per passare da questa ad altre interpretazioni basta sommare al termine di drift un termine dipendente dalla derivata del coefficiente di diffusione, secondo le regole di trasformazione:

Ad esempio, l’interpretazione "end point" studiata in un recente post  si ottiene per \alpha = 1/2. L’equazione di Fokker-Planck per la distribuzione in velocità di singola particella si ottiene con un calcolo tradizionale e fornisce:

Sostituiamo ora (il fattore cinetico del)la distribuzione di equilibrio di Maxwell-Boltzmann:

Si ottiene la condizione

Questa è la relazione di fluttuazione-dissipazione cercata, che mette in relazione il coefficiente di diffusione con quello di deriva ed il coefficiente \alpha che contraddistingue l’interpretazione del differenziale stocastico. Vediamo che l’interpretazione "end point" semplifica quest’espressione fornendo la relazione di Einstein

generalizzata al caso in cui diffusione e deriva dipendono dal modulo della velocità. Una simile relazione si può ricavare senza dfficoltà nel caso multidimensionale. Ci sono ragioni indipendenti dal discorso fin qui affrontato per ritenere valide queste relazioni, ma questo è un argomento che dovrò approfondire. Pertanto l’esatta interpretazione del differenziale stocastico è quella "end point", e si scrive:

Ciò che Klimontovich chiama kinetic form corrisponde pertanto alla nostra interpretazione "end point", e un confronto più stretto mostra che anche le altre due interpretazioni coincidono. E’ in ogni caso curioso che questa interpretazione sia quella più adatta per una modellizzazione fisica, laddove essa appare come quella che "viola la causalità" nella maniera più radicale. Infatti "guardando infinitesimamente nel futuro" la discretizzazione cinetica fa seguire la causa alla conseguenza, ma tiene conto anche di un contributo di gradiente; quindi, in qualche senso che dovrei chiarire, ribaltando la prospettiva, il rumore sente sia lo stato della particella browniana sia la sua derivata prima.

Nota: in questo articolo la discretizzazione di punto finale viene chiamata convenzione isoterma. Presto una recensione.

Nota: in questo articolo invece pare che una procedura di discretizzazione di Stratonovich porti alla stessa equazione di diffusione cercata. Un po’ seccante.

* Forse anche l’equazione di Black-Scholes si può vedere come la chiusura di equazioni differenziali stocastiche rispetto ad una qualche relazione di fluttuazione-dissipazione?