…alias gli Stati Stazionari dell’equazione di FokKer Planck, con una divergenza ultraviolenta verso le serie divergenti.

E’ cogente in tempi di crisi l’individuazione degli stati stazionari cui il sistema econo-sociale 2.0 (o’ sistemone aleatorio, una super-martingala per gli addetti ai lavori) tenderà a portarsi ergodicamente ad uno stato stazionario. Pronti stavolta a prestar fede ad ogni Cassandra, desideriamo sapere se questo agognato nuovo ordine vedrà il prezzo dell’acqua superare quello della benzina, oppure se restaurerà livelli di consumi e sfruttamento consoni al nostro stile di vita. Il nuovo equilibrio potrebbe prevedere la riduzione delle civiltà occidentali in schiavitù sotto il gioco dell’Impero di Cindia o la scomparsa del genere umano dalla faccia del pianeta. Ma prima, molto prima di imbracciare la sfera sarebbe utile sapere se esiste uno stato stazionario, e se ne esiste uno o molteplici, così eventualmente ci dirigiamo verso quello più promettente.

Serie divergenti

In matematica prima di dare aria alla bocca bisogna sapere che le cose di cui si parla esistono, altrimenti possono succedere brutti sherzi. Non bisogna essere troppo pedanti però, checché ne dicano i matematici quasi tutta la matematica parte da intuizioni "fisiche" (questo articolo di Arnold in proposito è storico, leggere la prima frase). Come messo in luce nella magnifica introduzione del libro storico di Hardy sulle serie divergenti, quando i matematici erano fisici si potevano scrivere cose come questa (sic!):

(I)    1 - 1 + 1  - 1 + … = 1/2

o questa:

(II)   1 - 2 + 3 - 4 + … = 1/4

senza preoccuparsi troppo di definire. Ecco per la cronaca la dimostrazione banale della prima:

s := 1 - 1 + 1 - 1 + …

= 1 - (1 - 1 + 1 - … )

= 1 - s

Quindi 2s = 1  e la somma risulta 1/2. Della seconda:

 t := 1 - 2 + 3 - 4 + …

= (1 - 1 + 1 - 1 + …) - (1 - 2 + 3 - 4 + …)ù

= s - t 

Quindi 2t = 1/2. Sembra pazzia? C’è di peggio. Ad Hardy giunse un giorno la lettera di un giovane autodidatta indiano in cui era annotato:

1 + 2 + 3 + 4 + … = - 1/12

La somma di tutti i numeri naturali è un numero negativo, una frazione dell’unità! Qual è il trucco? Il trucco è che queste serie infinite non sono definite tramite la somma usuale, ma in altro modo, un modo che conferisce significato ai simboli, un significato diverso da quello che conosciamo ma che in qualche modo ne conserva le proprietà, in particolare associativa, distributiva, e che coincide con il significato usuale quando questo ha senso.

La lezione è questa: le cose esistono a seconda del senso che attribuiamo loro, e attribuirgliene uno è un lavoro da fisici. L’esistenza diventa una questione di coerenza.

Stati stazionari

Ma ho decisamente sforato, e per non farvi sfiorire dalla noia torno sui miei passi. Dicevamo dell’esistenza ed unicità. Un problema importante per lo studio delle equazioni di diffusione (Fokker-Planck) ed in generale delle equazioni alle derivate parziali è l’individuazione degli stati stazionari, gli stati invarianti nel tempo, laddove la caratterizzazione dell’intera evoluzione è sovrumana e nota solo in casi eccezionalissimi. Ma prima ancora viene l’esistenza e l’unicità, e nel pacchetto si desidererebbe anche l’ergodicità che assicura che se esiste ed è unico lo stato stazionario, il sistema effettivamente ci tende (quasi)-qualunque sia lo stato iniziale. L’impressione è che le risposte non siano complete; da quel che leggo qui

The existence and uniqueness of stationary distributions for this Fokker-Planck equation is still an unanswered question

ma in riferimento ad un’equazione di Langevin di campo con rumore complesso, utile per la quantizzazione stocastica. Per quanto riguarda l’equazione di FKP, il problema è affrontato nella maniera più completa qui, e mi riprometto di leggere, studiare e commentare. Ma per il corollario al discorso precedente, siccome queste equazioni hanno senso fisico, devono "accadere" in qualche luogo dell’Universo, allora si può dar per scontato che si comportino come ragionevolmente l’intuizione fisica indica.

Per ora solo alcune considerazioni banali. L’eq. FKP è un’equazione di continuità per la densità di probabilità

ove la densità di corrente è data da

I vettori si considerano in R^n, D(x) è la matrice di diffusione, che si suppone invertibile, e \mu(x) il vettore di deriva. L’equazione differisce da quella abituale in quanto ottenuta, per ragioni di opportunità fisica, in discretizzazione cinetica. Il passaggio alle altre interpretazioni consiste in una ridefinizione del vettore di deriva. Gli stati stazionari dell’eq. FKP sono dati pertanto dall’annullarsi della divergenza della densità di corrente, cosa che si verifica in due casi:

1) Correnti nulle

L’annullarsi della corrente implica

       (1)

Iil campo a dx è conservativo, e pertanto anche irrotazionale (se siamo in n=3), o più genericamente esso è una 1-forma chiusa:

il che implica che per ogni i,j indici vettoriali si ha

      (2)

Scrivo queste relazioni ovvie solo per evidenziare che  (2) è una forma di bilancio dettagliato. Più conformemente con il bilancio dettagliato noto in analoghi processi su spazio degli stati discreti, integriamo in (1) lungo un qualsiasi percorso \gamma che collega i due punti x e y:

      (2)

Se lo spazio degli stati è connesso (il campo nullo non isola porzioni di sistema), ogni stato può essere collegato ad un arbitrario x e si può intendere la (2) come un’espressione esplicita per la densità di probabilità in y, a meno di una costante di normalizzazione. Questa è una relazione di bilancio dettagliato. Sarebbe interessante (A) dare un senso all’espressione

      (2)

Con un po’ di teorema di Girsanov dovrebbe essere un fatto pacifico. (B) Dare un’espressione in termini di integrale sui cammini, in vista di una generalizzazione a stati stazionari di non-equilibrio. Notiamo prima di chiudere che il campo conservativo non è la deriva, campo di forze deterministico che compare nell’EDS associata, ma una combinazione di rumore (fluttuazione) e di deriva (dissipazione). Quando questo rapporto è proporzionale ad x si ottiene la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e la relazione di dispersione di Einstein:

      (2)

ove \beta è la temperatura inversa del bagno termico. Questo può suggerire (C) un modo di definire la temperatura localmente lontano dall’equilibrio, purché valga localmente l’equipartizione dell’energia e coincida con l’energia cinetica media in un intorno di ogni punto. Abbiamo visto che se lo stato stazionario è d’equilibrio, il campo è conservativo. Viceversa un campo conservativo ammette uno stato stazionario d’equilibrio. Ma è unico?

2) Correnti solenoidali

Gli stati stazionari con densità di corrente nonnulla si dicono di non-equilibrio, perché un’azione esterna (affinità) mentiene accesi tali flussi di probabilità. In dimensione 3 la corrente è solenoidale

mentre nel caso generico dovrò andare a ripassare un po’ di geometria differenziale per le forme esatte e la derivazione esterna. Ora mentre abbiamo appurato che conservatività ed equilibrio sono intimamente collegate, non abbiamo però veramente mai escluso che un campo conservativo abbia soltanto soluzioni di equilibrio. Il fatto non mi è ovvio.

Chiaramente gli stati stazionari di non equilibrio sono molto più complessi da individuare. Un’idea (D) è che sia possibile generalizzare con tecniche di integrazione funzionale la costruzione per alberi di Schnakenberg, almeno da un punto di vista formale. L’altra strada percorribile è di studiare le conseguenze dell’invarianza di gauge della teoria. Il potenziale vettore A è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

che si porta via informazione, altrimenti la corrente sarebbe sovradeterminata. Allo stesso modo in EM classico la simmetria di gauge si porta via un grado di libertà non fisico del campo elettromagnetico (uno stato di polarizzazione del fotone). Questa riduzione di informazione si legge anche nel teorema di Stokes:

L’informazione contenuta in una qualsiasi superficie limitata dal bordo \Sigma è contenuta nel bordo. Ci si può chiedere quanto e cosa si possa ricostruire di J con la sola conoscenza di A sul bordo, e quant’altro serve per conoscere tutta la densità di corrente. Quanto, come e dove si riesce a comprimere l’informazione? La domanda ha grande rilevanza fisica perché scopo ultimo della termodinamica di non-equilibrio è quello di descrivere le correnti e le forze microscopiche in termini di poche correnti e forze macroscopiche e di esprimere gli stati stazionari in termini di queste coppie di grandezze intensive vs. estensive, generalizzazioni dei potenziali termodinamici, e come soluzioni estremali di un problema variazionale (MAXENT).