Matematici, leggete con prudenza, pena succitata.

Sono in cerca di un teorema, ma anche solo di un’indicazione, o di un’intera teoria… Conosciamo tutti il teorema di Stokes che riconduce il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie alla circuitazione del campo lungo il bordo che contiene tale superficie. Impiegando una notazione più generale, valida per generiche forme esterne:

Supponiamo ora che il rotore del campo abbia significato fisico, e chiamiamo A il "potenziale". In ottica informazionale, possiamo affermare in qualche senso che l’informazione fisica del sistema è tutta contenuta nel potenziale lungo un bordo di dimensione inferiore, una sorta di principio olografico. La fisica infatti è invariante per trasformazioni di gauge (calibro) del potenziale A:

ove

In termini matematici, A e A’ sono coomologhe. Questa simmetria incorpora un certo grado di arbitrarietà, che riduce i gradi di libertà fisici. In effetti, quanti gradi di libertà si porti via  la simmetria di gauge è una faccenda delicata. In elettromagnetismo classico, si dimostra che a seguito del gauge fixing gli stati di polarizzazione dell’onda elettromagnetica sono ridotti da tre a due. In QFT, il gauge fixing è una faccenda complicata, per colpa delle maledette copie di Gribov. E non mi sono preoccupato di studiare il formalismo delle teorie di gauge in dimensione arbitraria, ma non è questo che è rilevante per quanto segue.

Quello che vorrei sapere è questo. Visto che l’integrale del rotore uscente da una superficie è pari all’integrale del potenziale lungo il bordo, mi chiedo se (in ordine decrescente di improbabilità):

1) esiste qualche teorema di ricostruzione che permette di conoscere il rotore in ogni punto della superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

2) visto che in uno spazio tridimensionale le superfici racchiuse da un bordo sono infinite, esiste qualche teorema di ricostruzione e selezione che permette di conoscere il rotore in ogni punto di una qualche specifica superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

3) visto che siamo sempre in tre dimensioni, esiste qualche teorema che permette di conoscere il rotore in ogni punto interno di un tubo conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo del tubo?

4) altrimenti, esiste un qualche teorema che ci dice qual è l’informazione minima necessaria indispensabile per poter ricostruire il valore del rotore del campo in ogni punto dello spazio?

5) tutto ciò potrebbe avere a che fare con la fantasmagorica coomologia di De Rham?

Insomma, mi piacerebbe sapere se esistono risultati che permettono di comprimere l’informazione contenuta da un rotore in un certo volume nel valore del suo potenziale in uno spazio di dimensione inferiore, ed eventualmente conoscere un metodo per compiere la decompressione. Fantamatematica?

Update. Ho l’impressione che la risposta possa venire da qui, anche se in maniera diversa da quello che pensavo: in gauge theory, a Wilson loop is a gauge-invariant observable obtained from the holonomy of the gauge connection around a given loop. In the classical theory, the collection of all Wilson loops contains sufficient information to reconstruct the gauge connection, up to gauge transformation (da wiki). In particolare il problema della risoluzione è affrontato qui.