Molti dei blog che seguo sono in una fase di stallo e così il mio. In preparazione ho i seguenti post:

La fantamatematica della crisi finanziaria

Freccia del tempo e cosmologia /1

Goldstone, non è qui l’ibrio?

à la gauge

Post #79

di endecasillabi, eptafonie e numerologia

Post #95

Post #97

Stochastic Resonance

Legge di Fourier /1

Stochastic quantization

L’altalena stocastica /3

Post #110

Carlo Rovelli - Quantum Gravity

Enumerare i razionali,

La legge di Newton è una legge?

The mirror symmetry

Devo alternare la scrittura di questi post e dei commenti ad altri blog con la scrittura di un romanzo e di - si contano - una decina di racconti. Oltre alla scrittura c’è la lettura, bisogna pur attingere da qualche maestro. Sul comodino attualmente sono impilati Se una notte d’inverno un viaggiatore, iniziato a settembre scorso, I cristalli sognanti di Bruno Giorgini che devo restituire a breve e Infinite Jest di Foster Wallace, sono arrivato a pagina 1 e ne rimangono un migliaio, per non nominare le letture iniziate più di un anno fa e che le dò per perse. Inoltre mi sono impegnato a studiare una sonata di Mozart per violino e pianoforte, la terza sonata di Chopin e La Valse di Ravel in una riduzione per piano. Avrei iniziato a scrivere una decina di pezzi per pianoforte e di lieder, ma quelli aspetteranno perché devo imparare nel frattempo a improvvisare jazz e organizzare la stagione primaverile del duo elettro-acustico (una data sarà più che sufficiente). Il calcetto una volta alla settimana. Non vi dico la lista dei film da vedere.

Questo nelle intercapedini di tempo libero che ricavo tra la Famiglia e la Fisica e che non vengono sottratte dal Grande Buco Nero che monitoreggia sulla mia scrivania.

Beh dai per questa volta me la sono cavata con poco sforzo. Parlare di quello di cui si vorrebbe parlare è un ottimo riempitivo e ti fa sembrare intelligente. Adesso qualcuno crederà che io volessi veramente scrivere di tutta quella roba.

Seminario di David Lane, uno dei fondatori del Santa Fe Institute per i sistemi complessi, ma di fisica neanche l’ombra, solo ontologia e sistemologia. Teoria dell’innovazione degli artifatti, sua creatura cui lavora da quindici anni. Una cultura enorme, tanta intelligenza interpretativa, una bella parlantina ed un case study interessante: come l’invenzione della stampa ha modificato la società e il cambiamento nella società ha attribuito nuove funzioni alla stampa. Per esempio, sapevate voi che le prime importanti commissioni alle stamperie erano moduli per le richieste di indulgenze che la Chiesa faceva preparare per meglio vessare i fedeli? Solo molto più tardi è avvenuto quel cambiamento nella società che ha consentito lo sviluppo di un mercato di libri.

Il tono era talmente enfatico che non ho neanche mai voluto sospettare che le cose che stesse dicendo in verità fossero banali. Il problema di queste belle interpretazioni è sempre lo stesso. Alla fine l’idea con cui uno se ne esce in tasca è semplicemente che

things are complex

Ovviamente c’è molto di più. Ma devo dire di provare un po’ fastidio quando questi modelli interpretativi della realtà si sganciano troppo dalla realtà e dai casi cui applicano per diventare pieni di space of agents, generative relationships, interactions loci, aligned directedness, complex foresight horizons. Perché ogni tale ontologia ha un modello consistente con il mondo reale e vari esempi concreti, ed ogni esempio concreto si presta ad essere interpretato da varie tali ontologie. Il mondo è amore. Il mondo è odio. L’uomo agisce con un fine individualistico. L’uomo agisce con un fine altruistico. La storia è ciclica. La storia è lineare. L’innovazione è evolutiva. Il cosmo è energia. Il cosmo è antienergia. Tutto ciò non è scienza, e non mi si può venire a dire che PRIMA serve un’ontologia per poter interpretare i dati.

Concludo con una tale ontologia.

Dato un sistema, esiste sempre almeno un’interpretazione del funzionamento del sistema coerente con il resto del mondo.

Data un’interpretazione coerente, esiste sempre almeno un sistema che esemplifica in maniera naturale l’interpretazione.

Si inaugura una nuova categoria, che si spera ben aggiornata da chi di dovere.

Partiamo con uno standard che più standard non si può per elaborare un po’ di jazz voicings, anche detti "come bisogna suonare gli accordi nel jazz". Dato un basso, levate la quinta e l’ottava; rimane soltanto la terza. Aggiungete la settima dell’accordo, e poi a piacimento none, tredicesime, undicesime, note estranee. I voicing che tradizionalmente si piazzano per primi sulla tastiera, in un pezzo come Alice in Wonderland (meravigliosamente suonato da voi sapete chi in sapete quale album Bill Evans in Sunday at the Village Vanguard) sono quelli del Jazz Piano Voicing Skills:

Ci si stufa presto di questi accordi vuoti e troppo lati. In particolare stufa presto quella nona al canto che diventa una sesta, è troppo bop, aggressiva, ripetitiva, estranea, si sente l’esigenza di addolcire un po’ i toni, come maestro Bill ci ha insegnato. L’operazione non è sempre ovvia, si può incorrere in situazioni come quella della prima battuta, in cui non si può sostituire la nona con la sesta perché siamo su un secondo minore e la sesta lo caratterizza troppo, la triade con la quinta vade retro, e quindi non ci rimane che suonare una quinta vuota (non sia mai!) oppure risolvere in questo modo estremamente elegante:

Con una bella seconda minore nel grave suona veramente bene, ed eventualmente per stemperare ancora i toni potete reintegrare l’esiliata quinta e sostituire il LA al DO. Soluzione alternativa, abbastanza eretica, è di suonare l’ottava al posto della nona (sic! ma non era bandita?)

Infine per rendere il mood ancora più incerto e instabile si può sostituire l’accordo Fmaj in quarta battuta con un Fsus, senza quindi la settimana ma con la sesta e soprattutto la quarta alterata, anticipando di fatto il contenuto armonico della battuta seguente (ancora un’ottava, ma allora è un vizio!)

Più avanti il problema con il rivolto minore di cui prima si ripresenta, per esempio sul E-. Adotto la soluzione di prima ma al posto della 7a preferisco metterci la 6a, che anticipa la sonorità distesa del A-.
 

E ora finalmente i reali. Ribadisco che queste note sono la stesura di pensieri di alcuni mesi fa, la premessa di discussioni già iniziate che mi hanno portato a scoprire che la risposta ai miei dubbi si trova alle voci Paradosso di Skolem, Teorema di Lowenhein-Skolem, e in frasi tipo (da wikipedia)

Thus the first-order theory of real numbers and sets of real numbers has many models, some of which are countable. The second-order theory of the real numbers has only one model, however.

Vale la pena comunque ripercorrere il filo dei miei ragionamenti. Nel frattempo mi sono reso conto che era vana la speranza di portarmi dietro qualche illetterato (matematicamente parlando), non ho fatto il lavoro che avrei voluto per rendere questo discorso terra-a-terra, per cui mi arrendo e vado un po’ più spedito.

Finita informazione

Nella scorsa puntata ho chiarito (od oscurato?) in che senso ogni numero razionale contiene finita informazione: essi sono esprimibili come stringhe finite, decodificabili secondo assiomi anch’essi scritti con finita informazione. Variando gli assiomi interpretativi possiamo generare altri insiemi numerici: per esempio i numeri algebrici, tutti i numeri che si possono scrivere a partire dagli interi sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo, potenziando e prendendo radici. Ma posso anche generare il numero trascendente (irrazionale non algebrico) pi greco con la sola frase "circonferenza del cerchio di diametro unitario". Con finita informazione sale a bordo anche il numero di Nepero

e = 1 + [1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8…]

ove le parentesi quadre indicano frazione continua, ed anche il numero di Chaitin

probabilità che una sequenza casuale di stringhe si fermi quando messa come input in una macchia di Turing. Questo numero è ben definito, ma non è computabile. Per il teorema di Lindemann-Weierstrass sono trascendenti anche il logaritmo di ogni numero razionale diverso da 1 e le funzioni trigonometriche di numeri algebrici:

log q,                    q razionale

sin a, cos a, …       a algebrico

e molti altri. Insomma vi sono parecchi insiemi numerabili di numeri i cui membri sono rappresentabili con finita informazione. Più avanti mi chiederò quanti "parecchi".

Gli assiomi dei reali

Va da se che la maggior parte dei numeri reali, comunemente intesi come stringhe di infinite cifre aperiodiche, sembrerebbero sfuggire ad una caratterizzazione di finita informazione. Queste stringhe sono intuitivamente in relazione biunivoca con l’insieme potenza dell’insieme dei numeri naturali, e pertanto sono ovviamente una quantità più che numerabile, della cardinalità del continuo.

Questa caratterizzazione dei numeri reali è ovviamente insoddisfacente. Non è accettabile postulare che le definizioni siano "infinite", e pertanto gli assiomi di Dedekind cercano di abbracciare l’enormità dei reali con assiomi più ragionevoli che contengono solo finita informazione (quanta le lettere alfabetiche che li compongono + un vocabolario della lingua + alcune definizioni preliminari), a partire da quelli che caratterizzano i razionali (ordinatezza, etc.) e aggiungendo l’assioma di Dedekind, o del continuo. In pratica questo assioma asserisce che ogni numero che produce una partizione della retta reale in due segmenti, uno a "destra" e uno a "sinistra", deve essere esso stesso un numero reale.

Meglio detto con un esempio. Consideriamo pi greco, il numero più antico della storia dell’intelligenza umana. Divide la retta in due sottinsiemi, quello a sinistra di tutti i numeri reali inferiori a pi greco, e quello a destra dei numeri maggiori. Ma allora anche pi greco è un numero reale. La stessa cosa non succede con i razionali: pi greco divide i razionali in tutti i razionali che lo approssimano dal basso, di cui fa parte per esempio la successione

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159 …

e a destra tutti quelli che lo approssimano dall’alto, tra gli altri

4, 3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160 …

Questi sono tutti razionali, ma il limite delle due successioni non lo è.

Sembra una tautologia? Quando ho colto cosa voleva dire questo assioma in soldoni, mi urtava il fatto che la validità dell’assioma dipendesse da come si definisce un numero reale. Secondo Dedekind sembra che i numeri in qualche misura ci siano già, prima, tutti definiti, e che si tratti soltanto di assegnarli ai vari insiemi numerici. Allora in questo senso si dice che l’assioma di Dedekind è "topologico", nel senso che richiede che R sia completo: ogni successione convergente (limitata) in R converge ad un elemento di R, e si posa questa struttura dei numeri reali su un sottofondo dato di numeri che esistono a priori, che sono i numeri dell’esperienza, come pi greco, la radice di due, etc. Il problema è: come sono definiti questi numeri? Chi sono?

In verità l’assioma di Dedekind non dice altro che questo:

E’ reale ogni numero definibile

ove per numero si intende una parte intera ed una successione di cifre decimali dopo la virgola (non stiamo qui a preoccuparci dei numeri immaginari e oltre). Definito un numero posso sicuramente costruire una successione che vi converga, ed una qualsiasi successione convergente ad un numero definisce quel numero, purché essa stessa sia definita. Definibile in un qualche linguaggio. Quale?

Se esiste una successione di cifre decimali non definibile (non sto parlando di computabilità, ma di definibilità) posso tranquillamente estrometterla dai numeri reali a cuor leggero. Nessuno potrà mostrarmi una successione di R convergente a quel numero, altrimenti lo avrebbe definito e sarebbe dentro anche lui. Ma adesso la domanda diventa: quanti sono questi numeri non definibili, e quanti sono i numeri definibili? Possiamo costruire un modello dei reali numerabile, che includa tutti i tagli di Dedekind che è possibile definire con finita informazione, in maniera tale che nessuno possa venire a dirmi "guarda che questo spazio non è completo, perché manca il limite di questa successione", perché non potrà mai mostrarmi una tale successione.

Una precisazione: è ovvio che i "reali" comunemente intesi come stringhe infinite soddisfano agli assiomi di Dedekind, e pertanto sono un modello dei reali. Ci mancherebbe altro. Ma non è detto che siano l’unico, e non è detto che non esista un modello dei reali numerabile.

La possibilità di costruire modelli diversi dei reali dipende dal linguaggio che stiamo impiegando per definirli. Nell’ultimo paragrafo vado a tentoni cercando di chiarirmi le idee su quali e quanti reali siano definibili e formulando domande, si spera, più pertinenti. Nel frattempo devo prima attaccare il teorema che sembrerebbe impedire l’esistenza di modelli numerabili dei reali.

L’argomento di Cantor

Dell’argomento di Cantor ho già argomentato qua, e già avevo cominciato ad esprimere i primi dubbi sulla sua validità. Ora posso chiarire (ma non motivare! Ribadisco che questa è fanta-matematica con le bollicine). In breve: Cantor dice che se (un modello de) i reali fosse numerabile, potremmo enumerarlo (vedete dove volevo arrivare!) mettendoli in fila uno dietro l’altro, magari usando una bella macchina di Turing che esegue il lavoro per noi. Poi grazie al beneamato assioma della scelta pigliamo una cifra da ognuno, con cui formiamo un nuovo numero di infinite cifre decimali e mostriamo che questo numero non può stare nella lista.

Dove sta l’errore? Due opzioni, che in verità dicono la stessa cosa:

1) Un insieme può essere numerabile, ma per quanto detto in precedenza non è detto che sia enumerabile. Cantor ha mostrato semplicemente che il numero diagonale di Cantor non è enumerabile nella stessa enumerazione degli elementi del modello. Magari in un’altra enumerazione si, ma non sarà più lui il numero diagonale di Cantor!

2) Supponiamo che il nostro modello numerabile sia costituito di numeri reali definiti con finita informazione. Allora l’argomento di Cantor ci dice semplicemente che il numero diagonale di Cantor non fa parte di quell’insieme, ossia non è definito con finita informazione. Nessuno potrà darmene una definizione che non richieda necessariamente di specificarne tutte le infinite cifre decimali, oppure equivalentemente nessuno potrà dare un ordinamento dei numeri del modello semplice ed elegante che con una formuletta mi consenta di conoscere il numero di Cantor.

Fuoripista: la dimostrazione tramite Baire

Credo che analoghe considerazioni si possano fare nel caso della dimostrazione tramite teorema di Baire fornita da Stefano qui, dimostrazione peraltro elegante. Non ho la pazienza di analizzarla nel dettaglio; ho l’impressione però che nasconda sotto il tappeto le stesse problematiche che ho evidenziato sopra. Soprattutto, non credo che ci si debba appellare a teoremi avanzati di topologia per chiarire una questione fondazionale. Se questa dimostrazione dovesse essere pienamente soddisfacente, dovrebbe esserci anche una soluzione pienamente soddisfacente a livello dell’argomento di Cantor.

Che fare?

Data tutta questa premessa, sono tante le domande che ci si può porre. Le metto in ordine sparso. Premessa: per linguaggio logico intendo un sistema semantico convenzionale per esprimere definizioni, proprietà etc. Può essere logica del primo o del second’ordine, ma non è escluso che si possano prendere in cosiderazione altri sistemi formali.

1) Successioni numerabili? Prendiamo un insieme numerabile e consideriamo tutte le successioni. Queste sono un infinità non-numerabile. Quante sono quelle convergenti ad elementi estranei all’insieme di partenza? Se sono numerabili, allora i tagli di Dedekind sono numerabili e il completamento dell’insieme di partenza è sempre numerabile. A questo punto bisogna considerare i nuovi tagli di dedekind che si generano con le successioni convergenti nel completamento, che sono numerabili*numerabili = numerabili. Poi ancora e ancora. Alla fine è possibil che si arrivi ad un 2^numerabili tagli di Dedekind indipendenti da aggiungere?

2) Ogni numero reale è definibile? Dato un numero reale qualsiasi (di infinite cifre aperiodiche), esiste sempre un linguaggio logico, un sistema di assiomi interpretativi ed una stringa finita che permetta di generarlo, preso singolarmente? Per esempio, se considero l’immagine del logaritmo per ogni razionale, ottengo numeri irrazionali. Se considero ogni possibile funzione definita con finita informazione, ed in una logica del secondo ordine le faccio correre su tutti i razionali, quanti numeri reali ottengo? Tutti? Oppure ci sarà sempre quel maledetto numero a cui non puoi arrivare neanche così?

3) Non numerabile ma neanche non-non-numerabile. Possibile che la questione di quanti siano VERAMENTE i numeri reali sia indecidibile?

Queste sono solo alcune delle domande che mi turbano, e spero che mi turbino ancora per poco. Forse Skolem mi libererà per sempre da questa confusione mentale.

Devo procrastinare nuovamente l’ultimo (si spera) post sulle mie speculazioni matematiche a questo weekend e nel frattempo dare il giusto rilievo alla notizia del giorno, che non è il ritorno di Fiorello in televisione e neppure la vittoria al fantacalcio di chi ha puntato su Inzaghi, ma è

la vittoria del Sindacato degli Studenti

alle elezioni universitarie patavine. Notizie più accurate si potranno leggere nelle prossime ore qui e qui.

Come potrete notare dalla grafica del secondo blog, c’è un filo rosso, anzi un link rosso, che mi unisce a questo mondo, per non chiamarla spregiativamente "lista", perché una lista soltanto non è. Nel periodo di massima fertilità intellettuale, agonistica e sessuale ho passato le giornate e le serate in ASU e in Pollaio e in Consiglio di Facoltà e in Consiglio di Studenti e in enoteca e al computer al servizio di un imprecisato ideale di studente e soprattutto della mia stessa volontà di partecipazione. La mia generazione è passata di un paio di generazioni ma con un po’ di nostalgia stasera sono a festeggiare con i giovani che hanno fatto il miracolo.

Si tratta di un trionfo più simbolico che di fatto, lo dico senza voler sminuire la portata. La rappresentanza è faticosa e a volte nient’affatto gratificante. Non partirà qua la rivoluzione, ma partono da queste esperienze piccole rivoluzioni personali che aiutano a vedere il mondo con occhi diversi e a sentirsi parte attiva dello spento processo democratico, nel tentativo di far ripartire un minimo di partecipazione in questo paese stanco e assuefatto ai poteri.

Potere incarnato nelle strutture di partito, che si presentano alle elezioni con una macchina organizzativa appoggiata dall’alto e con buona disponibilità economica, anche a quelle universitarie, buon trampolino di lancio per i dirigenti del futuro. Potere delle lobby, una su tutte quella vaticana che evade dai suoi confini statali, prende il lancio nelle università e nelle scuole private e nei collegi (e non nelle parrocchie, perché la chiesa non ha bisogno della legittimazione della sua base naturale) infiltrandosi in ogni ganglio del potere e della burocrazia. E anche qui i nomi non servono.

Il Sindacato degli Studenti è una lista indipendente, di sinistra. Come dice Benigni: avete presente quella parola che dici quando chiedi "dov’è il bagno?", "In fonto a …". Sinistra. Non aiuterà i propri rappresentanti a fare carriera politica, a trovare un posto nell’amministrazione degli enti per il diritto allo studio, a trovarsi un lavoro estivo negli alberghi del litorale, non aiuterà a superare gli esami o a entrare in specialità a medicina. Ma li aiuterà a diventare cittadini.

Michele Serra, articolo sullo slogan "sinistra del no" che squalifica ogni presa di posizione dell’opposizione facendola apparire come un peso morto in confronto ad un governo propositivo e industrioso. E con cui si riesce sempre ad evitare di entrare nel merito: testamento biologico? Deregulation edilizia? Referendum stralciato dall’election day?

Bene, sono d’accordo. Il campione del buonsenso moralista, elettore medio del centro-centro-…-sinistra si e’ reso conto quanto e’ fastidioso sentirsi dire "voi siete quelli del no" e sapere che le proprie buone proposte, quelle su cui si vorrebbero spendere tutti i propri "si", non verranno mai prese in considerazione. Adesso che il mirino si e’ spostato un po’ piu’ al centro perche’ a sinistra sono finiti i bersagli, nella pressa mediatica ci sono loro, la nuova "sinistra antagonista".

Allora mi piacerebbe dirgli che anche noi dell’ultrasinistra antagonista, fronte del no ad oltranza, massimalisti integralisti che dicevano no al rifinanziamento della missione dell’Afghanistan, no ai termovalorizzatori, no alle ingerenze vaticane etc. avevamo anche tanti si da elargire: si ai PACS, si ad una riforma in senso ecologico del nostro piccolo capitalismo etc. e non mi pare che nessuno si sia preso la briga di ascoltarci. Ma in quel caso, bastava leggere il programma steso insieme.

Numerabilità e numerabilità

Prima di procedere coi razionali, un distillato della puntata precedente (lussu, ci sei ancora? dove ti abbiamo perso?).

Ho provato a distinguere tra numerabilità di un insieme ed enumerabilità, un concetto che ho solo implicitamente definito, e per fortuna essendo io un fisico e questo un blog non ho nè la volontà nè l’urgenza di definire in maniera più rigorosa. In pratica per enumerare intendo costruire un algoritmo che mette in fila gli elementi dell’insieme, e la discussione dell’altro giorno dovrebbe avervi convinto che dato un qualsiasi linguaggio di programmazione, posso costruire un insieme numerabile che non è enumerabile da nessun programma scritto in quel linguaggio di programmazione. D’altra parte io stesso ho enumerato i numeri busy beaver

BB(1), BB(2), BB(3) …

per cui è chiaro che esiste un altro linguaggio di programmazione, più potente, in grado di svolgere questo compito, ma allora esisterà un insieme non enumerabile da qualsiasi programma in quest’altro linguaggio di programmazione etc. etc. Insomma il solito tram-tram quotidiano quando si tratta di delicate questioni di incompletezza: dato un sistema di assiomi di finita informazione, esistono proposizioni vere non dimostrabili in tale sistema perché la forza espressiva di tale linguaggio è limitata. Concetto concisamente espresso da un vero matematico nei commenti allo scorso post:

I possibili output di macchine di Turing sono numerabili; infatti esistono una quantità numerabile di macchine di Turing. Invece, l’insieme potenza dei numeri naturali è più che numerabile. È quindi ovvio che esistono insiemi di naturali che non sono computabili.

Il cortocircuito si crea perché, cosa piuttosto notevole, con la nostra intelligenza, che ci permette di fare salti tra diversi piani logici, possiamo costruire in quel linguaggio di programmazione fatti metalogici. Per esempio siccome sia le istruzioni che l’input/output di una macchina di Turing sono stringhe di bits, possiamo dare in pasto una macchina di Turing ad una macchina di Turing, o analogalmente possiamo assegnare un numero ad una proposizione che parla di una teoria dei numeri.

In soldoni, numerabilità non equivale ad enumerabilità. Il primo concetto dice che esiste una biiezione, il secondo che tale biiezione è esprimibile in un certo linguaggio. Il Princeton Companion to Mathematics dice che

An infinite set is called countable if it has the same size as the natural numbers […] This is exactly the same as saying that we can list the elements of the set.

E’ giusta, ma avrei da obiettare su quell’exactly.

E’ finita l’informazione

Sui razionali possiamo procedere allegramente, servono solo per parlare di informazione. Tutti sanno (??) che i razionali, numeri esprimibili come frazioni di numeri interi, sono quanti i numeri interi e quindi quanti i naturali. Non è difficile metterli in fila tutti, trovando una strategia per muoversi nel piano numeratore-denominatore. Per esempio la strategia di Cantor, visualizzabile qui. Parentesi: sebbene gli interi sembrino il doppio dei naturali, e i razionali sembrino quanto gli interi al quadrato (tutte le scelte possibili di denominatore per tutte le scelte possibili di numeratore), eppure l’infinito è sempre lo stesso (detto aleph_0):

Questo fatto si riassume molto ecologicamente considerando questo argomento. Sia i numeri naturali, che interi, che razionali sono esprimibili con una quantità finita di informazione, con un numero finito di cifre. Per esempio, un razionale può essere espresso con le cifre di denominatore/numeratore, oppure con il suo sviluppo decimale, che come ben sappiamo è periodico: basta specificare quali e quante sono le cifre del periodo e lo abbiamo determinato univocamente. Se ci mettiamo in base due, tutti questi numeri si possono esprimere come stringhe finite di bits:

11010010 . 1100101001 0110 0110 0110 0110 …

ove abbiamo diviso la parte intera (a sinistra della virgola), un primo pezzo di sviluppo decimale dopo la virgola e la parte periodica. I razionali sono quindi stringhe di un numero finito di bits, scelti in maniera aleatoria: ognuno dei bits può assumere il valore che vuole*.

Oltre i razionali

L’informazione di un messaggio dipende da come decido di decodificarla, per cui in ogni messaggio esiste infinita e nulla informazione. Il fatto che io abbia deciso che stringhe finite di bits siano numeri razionali dipende dal fatto che, dato un linguaggio meta-logico, interpreto quella sequenza in un certo modo (sviluppi decimali, frazioni). Avrei potuto sceglierne un altro ed ottenere altri numeri. Per esempio, la sezione aurea, un numero magico che gode della proprietà

Se sostituite al denominatore della frazione nuovamente la definizione, potete scrivere la sezione aurea come frazione continua:

Una frazione continua è un qualsiasi numero esprimibile come

ove abbiamo anche indicato una delle tante possibili notazioni per frazione continua, che mette in luce il fatto che questi numeri si possono scrivere tutti come stringhe. In particolare, la sezione aurea è data dalla stringa periodica [1;1,1,1,1…]. La sezione aurea non è un numero razionale; lo si può infatti esprimere in termini della radice di 5

e si può mostrare che la radice di 5 non è un numero razionale. Più precisamente, la sezione aurea è un numero irrazionale quadratico, soluzione di un’equazione quadratica

con a,b,c coefficienti razionali (o interi).  Si può mostrare (Eulero-Lagrange) che ogni frazione continua periodica è un numero irrazionale quadratico, e viceversa. Ma una frazione continua periodica è rappresentabile come una stringa con una parte decimale aperiodica ed un periodo, e pertanto la stessa stringa può rappresentare un numero razionale o un numero irrazionale quadratico, a seconda della decodificazione della stringa, ossia del linguaggio che stiamo usando.

Siamo quindi ai numeri algebrici generici, radici (soluzioni) di equazioni algebriche del tipo:

ossia tutti i numeri che si possono scrivere in termini di radici di numeri razionali. Anche questi si possono scrivere con finita informazione, per esempio specificando tutti i coefficienti a_0 … a_n, ognuno dei quali è razionale e quindi di finita informazione.

La carreggiata

Tutto questo discorso per dire una cosa. Una stringa finita di bits (con punteggiatura, vedi sotto) ha un certo significato a seconda del linguaggio che la decodifica, il quale a sua volta è anche scritto in una stringa finita di bits (per esempio i 10 000 caratteri del post di oggi). Con finita informazione ed un opportuno linguaggio che la interpreta, logico o meta-logico, posso andare molto lontano. Le domande che ora mi pongo, e a cui non darò risposta, sono:

- gli assiomi dei numeri reali, che contengono finita informazione, comprendono tutti i reali comunemente intesi come stringhe infinite di bit aleatori?

- se no, posso costruire un modello dei reali con soli numeri computabili (piano logico) o definibili in qualche linguaggio (piano meta-logico?)? Quanto sarebbe grande, un simile modello?

* Qui mi sarebbe piaciuto parlare di enumerazione dei razionali, ma mi sono inceppato perché l’argomento è molto più complesso di quello che pensavo a prima vista. Ed in ogni caso è del tutto inessenziale. Il sunto è questo. Posso costruire una macchina di Turing che enumera i naturali, ovverosia una macchina di Turing che dato un naturale permette di determinare univocamente il suo rappresentativo rispetto ad una biiezionee, e questo mi pare abbastanza banale. E’ semplicemente la macchina che restituisce l’input. Possiamo costruire una macchina di Turing che permette di determinare un rappresentativo intero di ogni razionale? La cosa è delicata. Sul piano di Cantor, non c’è problema. Ma il linguaggio che stiamo usando richiede l’utilizzo di simboli non conosciuti da una macchina di Turing, per esempio la linea rapporto

o, se scriviamo un razionale in cifre decimali, la barra periodica

Stiamo comunque sempre usando un linguaggio non decodificabile da una macchina di Turing. Questo è il nostro imprinting meta-logico: NOI sappiamo farlo. Ma possiamo farne a meno?

Mettiamoci quindi in testa che vogliamo trovare un algoritmo per enumerare i razionali. Consideriamo di lavorare solo sulla notazione decimale. Per comodità supponiamo di muoverci solo verso destra (anche se una macchina di Turing potrebbe continuare a muoversi da destra a sinistra, ma a lungo andare si romperebbe…). Potremmo alternare nello sviluppo decimale una cifra dello sviluppo ed una della parte intera, per esempio. Concentriamoci quindi sui razionali che cominciano per "0.".

Per enumerare tutti i razionali senza sviluppo periodico o con sviluppo periodico che comincia immediatamente dopo la virgola, possiamo usare la notazione

0 . [0] 11001001 = def = 0 . 11001001

0 . [1[ 0110       = def = 0. 0110 0110 0110…

La prima cifra decimale in verità è un’istruzione per decidere se lo sviluppo successivo è finito (nel caso 0) o periodico (nel caso 1). OK, adesso vogliamo fare un programma per enumerare anche quelli con sviluppo periodico che inizia dopo un certo numero di cifre significative aperiodiche dopo la virgola. Come faccio?

0 . [101] (11) 11001 110

  =  11001 110 110 110 … 

Da qualche parte nella stringa devo infilare un’istruzione che mi dica quante cifre aperiodiche (tra parentesi quadre) e quante cifre periodiche (tra parentesi tonde) devo mettere dopo la virgola. Il problema è che non posso sapere quante cifre avranno questi due numeri di controllo, per cui dovrei inserire altri numeri di controllo che mi dicano quante cifre avranno i numeri di controllo successivi

0 . 11101011111001110

    -> 0 . [[11]] ((10))  [101] (11) 11001 110

    = 0. 11001 110 110 110 …

Il numero di cifre di un numero avrà sempre un numero di cifre inferiore a quello del numero stesso, e scendendo scendendo si arriva fino alla stringa minima, che è quella di lunghezza 2 (lunghezza 1 non va bene, è l’unica stabile).

Sembra piuttosto complicato… proviamo con una strategia diversa. Alterniamo una cifra dello sviluppo decimale aperiodico ad una cifra del periodo

0 . 10 01 10 01 01 00 10 10 10 00 10

 = ? = 0 . 1010011101 01011000000 01011000000 …

 = ? = 0 . 1010011101 01011 01011 01011 …

Anche in questo caso c’è una certa ambiguità, dovuta al fatto che dobbiamo decodificare con lo stesso linguaggio, fatto di 0 ed 1, simboli metalogici.

Come vedete ideare un algoritmo completo è così facile. In primo luogo, bisogna che le stringhe siano ben formate, cioè che il numero totale di caratteri sia consistente con l’informazione contenuta nei caratteri di controllo. Poi c’è il rischio che la stringa non abbia interpretazione univoca, oppure che non sia esaustiva. Francamente non so dire se esista un metodo corretto, o se sia possibile dimostrare con un paradosso di tipo Russel i numeri razionali sono numerabili ma non enumerabili nello stesso linguaggio in cui sono espressi. Ho smesso di pensarci sennò mi viene il malditesta. Megio lasciar stare per ora. Stay tuned.

Ho procrastinato questa serie di post troppo a lungo, e alla fine la discussione che ne doveva scaturire è già iniziata [qui] e [qui]. Manca ancora la premessa. Che tenterò di scrivere in troppe parole semplici piuttosto che tante parole difficli, per motivi di ecologia mentale. Per cui anche quei testoni che saltano a pié pari i post scientifici questa volta non hanno scusanti (lussu, ce l’ho con te). Premessa necessaria: queste sono speculazioni pre-scientifiche personali dell’autore, che si impegna a studiare meglio la questione e a porre domande veramente pertinenti (ora devo: è arrivato questo).

Enumerare i naturali

Per parlare dei reali dobbiamo prima fare un excursus sugli altri insiemi numerici. Non daremo per scontato neanche l’insieme N dei naturali. N è l’insieme dei numeri che si usano per contare:

0, 1, 2, 3 …

e ovviamente contiene infiniti elementi. Infinito quanto? Si dice un infinito numerabile, ed ogni insieme che può essere messo in relazione uno-ad-uno (biunivocamente) con l’insieme dei numeri naturali si dice un insieme numerabile, nel senso primitivo della parola enumerare. Infatti anticamente per conteggiare il numero di pecore in un gregge si metteva un sassolino (calcolo) in un sacchetto, e al ritorno dal pascolo si calcolava se le pecore erano tante quante quelle che erano uscite. Si stabiliva cioè una relazione biunivoca tra i sassi e le pecore. Dopodiché il fanatismo islamico ci ha infettato con la mania dei numeri naturali e abbiamo imparato a contare "uno-due-tre-quattro…" senza aver più bisogno dei calcoli. Questo è vero in senso pratico, ma anche formale: i numeri naturali sono assiomatizzati partendo dallo zero e costruendoli uno ad uno con la funzione "successore" (assiomi di Peano).

Questa è precisamente la nozione che ci è rimasta di enumerazione: stabilire una relazione biunivoca, ed un insieme si dice numerabile se esiste una relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali. Per esempio sono numerabili i numeri interi Z (naturali di ambo i segni). Posso infatti costruire questa relazione uno ad uno tra gli interi e i naturali:

0  ->  0  

        1  ->  2      -1  ->  1

        2  ->  4      -2  ->  3

        …             …

che manda gli interi positivi nei naturali pari e gli interi negativi in quelli dispari. Per ognuno del primo insieme ve n’è uno del secondo e viceversa, per cui l’infinità di Z è la stessa di N (anche se intuitivamente i primi sono "il doppio" dei secondi).

Perché sono così pedante? Perché non è detto che se esiste una relazione biunivoca, questa si possa effettivamente mostrare. La cosa può apparire sorprendente, sapere che una cosa c’è e non poterla vedere. Il fascino della matematica del ‘900 è che ha imparato a trattare le cose formalmente, immergendole nel loro spazio di residenza, senza sporcarsi le mani. Per cui, ad esempio, è possibile mostrare che un certo problema non ha risposta, senza bisogno di smanettare con il problema stesso. Può succedere pertanto che ci siano numeri naturali numerabili che non si possono enumerare! Chiarisco.

Il numero più grande

[più che ispirato da qui]

Chi la spara più grossa, ovverosia chi sa dire il numero più glande? Avrete sicuramente giocato a questo gioco da bambini. Regole: il numero deve essere un numero naturale, e ben definito: un matematico deve saperlo riconoscere. Non può essere "infinito", e non può essere "uno più del tuo"; e non può neanche essere "il numero di particelle nell’universo" (anche perché non conviene). Partiamo: dieci, cento, millemilioni! Chi vince? Il più furbo. Quello, per esempio, che comincia ad usare le potenze: "dieci alla cento" (anche detto googol). Più furbo di lui è quello che dice "dieci alla dieci alla cento" (googolplex). Attenzione: questo numero è già più grande di qualsiasi numero fisicamente sensato. Infatti in fisica parliamo di ordini di grandezza, potenze del dieci: tra lo yocto e lo yotta, passando per il femto, il nano, il micro, il kilo, il giga, il tera, ci sono 48 ordini di grandezza (dieci alla quarantotto). Il numero di particelle nell’universo è stimato intorno a 10^85. Quando si comincia a frequentare ordini di grandezza importanti non ha senso porsi problemi sulle singole unità. Chi compra una villa da 20 milioni di euro difficilmente sarà preoccupato per 20 euro di marca da bollo. Ma quando uno dice "dieci alla dieci alla dieci", perfino l’ordine di grandezza è negligibile. Siamo veramente molto in alto!

Più furbo ancora è quello che si inventa una nuova operazione. Come il prodotto è una notazione breve per successive somme, e la potenza è una notazione breve per prodotti ripetuti, si può definire una notazione compatta per le potenze ripetute (tetrazione, che indiciamo con #), e poi via via si possono definire operazioni computabili che sparano sempre più in alto. Un esempio di notazione compatta per queste operazioni è la notazione di Steinhaus-Moser. Altre notazioni concise per arrivare veramente in alto sono la notazione di Knuth, con la quale si può scrivere il numero di Graham g_64, fino ad un po’ di tempo fa il più alto numero naturale mai definito che fosse la risposta ad un qualche quesito matematico che non fosse "scrivere il numero più alto", cioè che comparisse in maniera naturale da qualche parte in matematica (curiosamente, è la risposta più vicina che si è riusciti a dare ad un problema la cui risposta congetturata si ritiene essere semplicemente 6).

Numeri molto grandi si ottengono quindi definendo funzioni computabili che, dato in pasto un numero, cominciano a sommarlo, moltiplicarlo, elevarlo, superelevarlo etc. etc. fino ad ottenere numeri stratosferici. Computabile significa che in teoria, disponendo di sufficiente tempo, dando in pasto ad una macchina di Turing (un computer) le istruzioni per calcolare il numero, questa prima o poi ve lo sputa fuori. Il problema casomai è che non ci sarebbe spazio per scriverlo: se l’Universo è finito, è al più fatto di quantità grandi "ordini di grandezza" di cose su cui scrivere, e già un numero con un googolplex di cifre non ci sta. Una simile funzione computabile è la funzione di Ackermann A(n), definita in questo modo:

A(1) = 1 + 1

A(2) = 2 * 2 = 2 + 2

A(3) = 3^3 = 3 * 3 * 3

A(4) = 4#4 = 4^4^4^4

A(5) = pentazione(5) = 5#5#5#5#5

…

Il numero XKCD definito da A(g_36) (funzione di Ackermann valutata sul numero di Graham) è il numero computabile più grande e conciso che possiate menzionare se volete vincere la gara. La funzione di Ackermann non è altro che la formalizzazione matematica della megalomania più sfrenata: quando immaginiamo di abbracciare il tutto e superarlo, e di superare il superamento del tutto, e ancora e ancora, quando visualizziamo una quantità e la facciamo diventare risibile per arrivare ad una nuova quantità risibile, stiamo ideando una procedura ricorsiva che tende a superare ogni grandezza concepibile, eppure lo stiamo facendo costruttivamente, computabilmente. Ci rimane sempre il dubbio che non ci sia qualcosa di ancora più grande, inafferrabilmente più grande.

Il lavoratore industrioso

Esiste qualcosa di inafferrabilmente più grande? In effetti si, esiste una funzione che cresce più velocemente di qualsiasi funzione computabile. Pensavate di aver vinto con A(g_36), ed invece c’è qualcuno di più cazzuto di voi. Ed anche più stronzetto. Perché lui sfodera una funzione che definisce in maniera implicita, ma assolutamente ben definita, numeri naturali talmente grandi da non essere computabili (casomai potete far ricorso in cassazione sulla corretta interpretazione del regolamento). Questa funzione cresce più velocemente di qualsiasi esponenziazione, tetrazione, graham-izzazione. Si chiama busy-beaver. Il concetto è questo. Un qualsiasi programma lungo M istruzioni su computer può portare a termine il suo compito dopo un certo numero di computazioni, per quanto lentamente (Linux), oppure entrare in loop e inchiodarsi (Windows). Ma non è possibile costruire un super-programma che giri sullo stesso computer e che sappia prevedere, per ogni dato programma con M istruzioni, se questo si fermerà o andrà avanti all’infinito*. Non possiamo costruire un super-programma che ci predica il destino di un qualsiasi programma. Questo è uno dei grandi risultati della matematica del ‘900 (halting problem), versione computazionale del teorema di Goedel.

Ora definiamo questa funzione: BB(M) (busy beaver) è la funzione che ci dice il massimo di computazioni che un generico programma con M istruzioni iniziali può performare, purchè prima o poi si arresti. Tra tutti i programmi di M istruzioni che si fermano, BB(M) ci dice quanto avanti va quello che si ferma più tardi. Ebbene: noi non possiamo inventare un programma che dato M ci dica BB(M), ovverosia BB(M) non è computabile, perché se potessimo computarla potremmo risolvere l’halting problem. Non sarebbe infatti difficile costruire un super-programma che per un dato programma di M istruzioni di cui vogliamo conoscere il destino calcola BB(M) e lascia correre il programma fino a che non ha performato BB(M) computazioni; se non si è ancora fermato, da definizione di BB(M) allora sapremmo che il programma continuerà all’infinito, ed avremmo risolto l’halting problem.

Confusi? OK, dimenticate il paragrafo sopra. Quello che importa è che esiste una funzione che definisce precisamente numeri naturali non computabili, ovverosia un computer non potrebbe enumerare tutti i numeri generati dalla funzione busy-beaver uno per uno. Questo non vuol dire che singoli valori siano inconoscibili, e non vuol dire neanche che i numeri naturali non siano enumerabili. I numeri busy-beaver, per definizione, per quanto grandi verranno raggiunti da un programma che conta 1,2,3…, ma questo stesso programma non saprà dirvi se il numero che sta contando è busy-beaver o no. Si giunge a questa conseguenza, sbalorditiva:

esistono insiemi numerabili non enumerabili

Per esempio l’insieme dei numeri busy-beaver, perfettamente definito con finita informazione (i 12000 caratteri di questo post sono sufficienti e ridondanti), è in relazione univoca con i naturali:

M -> BB(M)

e pertanto è al più numerabile (la biunivocità è garantita se la successione BB(M) è dimostrata crescente) eppure non è enumerabile, nel senso appena detto. Notiamo la peculiarità della definizione di questi numeri: essa si basa sulle specifiche di programmi che calcolano numeri, e quindi è una definizione meta-logica. Se per costruire la somma dobbiamo dire "prendi M e aggiungi M", per costruire BB(M) dobbiamo dire "prendi un programma di M istruzioni…". Per costruire questo esempio ben definito e astruso, abbiamo dovuto cambiare livello semantico.

Adesso voi direte: vabbeh questo non vuol dire nulla. Hai solo detto che le macchine di Turing non possono enumerare tutti gli insiemi numerabili. Ma attenzione: non ho mai veramente fatto uso del fatto che la macchina fosse di Turing; ho solo supposto che elaborasse finita informazione iniziale (N bits) a passi discreti. Per tanto il concetto è che

esistono modelli dei numeri naturali che non sono enumerabili da nessun algoritmo che contiene finita informazione

Continueremo con i numeri razionali e reali nei prossimi post, ora una divagazione.

Loosing my religion

Concludo con un tocco di religione. Al momento io credo (fideisticamente) che la congettura di Riemann sia indimostrabile. Lo credo perché i numeri primi sono il mistero ultimo della matematica, e la congettura di Riemann il distillato di questo mistero. Una sua risoluzione sarebbe un evento tristissimo, come la morte. Ma la matematica sopravviverà all’uomo. Quindi credo. La mia fede è supportata da questo indizio: i numeri primi giocano un ruolo di primo piano nella dimostrazione del teorema di incompletezza, consentendo la numerazione di Goedel delle proposizioni. Mi parrebbe assurdo che questo fosse un caso. Secondo me è un chiaro indizio della loro colpevolezza: se permettono di dimostrare l’incompletezza, allora essi stessi incarnano questa incompletezza.

Personalmete fantastico addirittura di una dimostrazione di indimostrabilità/non-refutabilità, basata sulla violazione del teorema di Goedel. Ma, c’è un grosso ma. Come rileva anche Chaitin (qui), una dimostrazione di non-refutabilità sarebbe una prova, dato che la congettura riguarda un insieme numerabile. Se dimostro che non posso trovare un caso contrario, dimostro il teorema. Nulla vieta che si possa dimostrare l’indimostrabilità, una sorta di teorema dimezzato. Ma c’è un altra opzione, e qui diventa fantastascienza sfrenata: che si possa dimostrare che non è rintracciabile un caso contrario computabile. Insomma un risultato del tipo: non possiamo sapere se l’ipotesi è vera, ma non troveremo mai un caso contrario, perché se c’è non è computabile. Non sarebbe fico?

* A proposito dell’halting problem, non so se esista un risultato che dice che ogni macchina di Turing che va avanti all’infinito entri in loop, e quindi che ogni macchina di Turing elabora numeri razionali periodici (loop) o troncati (halt), ossia numeri di informazione comunque finita, quanta è l’informazione dei bits iniziali. La cosa mi sembrerebbea molto sensata.

Vi riferisco di una notiziola che non ha avuto alcun rilievo di stampa, rilevata per tempo soltanto da Il Sole 24 Ore e che sono riuscito a reperire in pochi altri posti (nascosta qui e qui) ma che ha fatto rizzare i capelli in testa ai miei famigliari. Nella riforma Brunetta del pubblico impiego è previsto

l’innalzamento di fatto del tetto di anzianità pensionistico a 40 anni in quanto viene calcolato sulla base del servizio effettivo e non contributivo (riscatto laurea a o servizio militare).

La norma è stata estesa per un ementamento del PD a tutti i dipendenti pubblici, forse nella foga di gareggiare a chi ha più in antipatia la categoria, a partire da una prima bozza di Brunetta che prevedeva il prolungamento delle carriere dei soli medici, a quanto ho capito (ma la cosa è confusa) per impedire pensionamenti forzati di questi "nel pieno delle proprie funzioni" (e faccio notare che solo in una gerontocrazia come la nostra si può pensare che un chirurgo di 60 anni abbia appena raggiunto il pieno delle sue capacità professionali, d’altra parte i nostri medici cominciano a mettere le mani seriamente su un paziente dopo aver alzato gli occhi dai libri in età avanzatissima). La norma è stata salutata come un successo dalle associazioni di categoria dei medici, ma non credo che altrettanto valga per gli altri dipendenti pubblici. Preciso che non ho la sicurezza di aver interpretato bene quanto ho letto in giro, e che non ho la pazienza di leggere ed interpretare la legge.

Chi aveva riscattato la laurea ed un dottorato di ricerca, pagando in maniera molto ridotta rispetto alla contribuzione piena ma pur sempre decurtano una cospicua sommetta dai primi stipendi necessari per costruire una vita con la famiglia, ha gettato i suoi soldi. E’ vero che costoro avranno così la possibilità di lavorare fino ad età avanzata mantenendo un livello salariale più alto rispetto alla misera pensione, ma ci sono persone che non vedono l’ora di poter appendere le scarpe al chiodo e che questa scelta l’avevano fatta oculatamente anni fa, investendo denaro non tanto per poter percepire una pensione moderatamente più alta, ma per non dover lavorare in eterno. Mi sorprende che non se ne sia parlato di più, perché la gente coinvolta dovrebbe essere tanta (tra questi, tutti i professori universitari: ricambio addio).

Da un lato mi chiedo quando una persona matura dei diritti. Una persona comincia a lavorare e fa certe scelte di vita in base alle prospettive future. Queste prospettive vengono continuamente modificate (tre riforme delle pensioni) in base a leggi posteriori che hanno ricadute su scelte pregresse.

Dall’altro mi rendo anche conto che stiamo qui discutendo diritti che oggi non sono all’ordine del giorno, miraggi per una persona che comincia a lavorare adesso. Potersi porre un problema del genere è un lusso, dispiace dirlo. Avere un lavoro difeso da un sindacato significa essere dei privilegiati. Scioperare, oggi, è una violenza che una categoria fa al resto della società che non può scioperare, o i cui scioperi producono solo disagi per loro stessi. Nel mare sconfinato dell’ingiustizia sociale che si consuma oggi, queste piccole questioni di principio sono riuioni di condiminio in atolli polinesiani.

Mi ero intrippato recentemente con le serie infinite non convergenti, oggetti matematici solo formalmente notati con una simbologia consueta, ma la cui definizione rigorosa è ben più sofisticata. Delle operazioni originali queste serie conservano alcune proprietà che permettono di maneggiarle, con qualche cura. Per esempio sommando e togliendo un’unità infinite volte si ottiene con un po’ di manipolazione

y = + 1 - 1 + 1 - 1 + …

   = + 1 - (+ 1 - 1 + 1 - …)

   = 1 - y

Quindi y =1/2. Un risultato non rigoroso ma "rigorosizzabile".

Qualcosa di semplice

Mi chiedo quindi se oltre alle serie (somme ripetute) si possano considerare operazioni reiterate più generali. Un esempio abbastanza ovvio è il seguente (non è affatto una "serie" divergente o senza limite):

y = 1 * 1 * 1 * …

   = 1 / (1 / (1 * 1 * 1 *…))

   = 1 / (1 / (1 / (1 /… )))

   = 1 / y

Quindi y = 1. Wow! Potete andare a letto contenti ora. Proviamo qualcosa di meno ovvio. Prendiamo una potenza infinita di una qualsiasi costante (prendiamo il numero di Nepero e):

y = e * e * e * …

   = exp [ (ln e) (1 + 1 + 1 …) ]

   = rad (1/e)

ove abbiamo sfruttato una serie divergente importante, 1+1+1+… = -1/2, non ottenibile con semplici giochetti matematici. Formula che mi piace provocatoriamente riassumere con

ove \omega è il primo ordinale transfinito, definito da \omega = {0,1,1+1,1+1+1,…}. Questo esempio non si può svolgere in maniera intuitiva: non valgono infatti nel caso della serie di 1+1+1+… e la somma di Ramanujan 1+2+3+4+… le comuni regole di manipolazione (leggo su wikipedia che non sono Abel-sommabili). Infatti provando a manipolare come sopra

y = e * e * e * … = e / (1 / (e * e * e *… )) = e * y

Quindi e = 1, nonsense a meno che non si prenda proprio 1 al posto di e (il fatto che non ci sia nessun giochetto elementare per ottenere queste serie è veramente scocciante, d’altra parte Ramanujan non sarebbe stato un genio altrimenti).

Proviamo quindi qualcosa di simile a quanto visto l’altra volta

y = e / e * e / e * e / e …

   = e / ( e / e * e / e * e …)

   = e / y                                (i)

quindi y è la radice di e. Il risultato è abbastanza ovvio: se si prende il logaritmo si ottiene

ln y =1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 + … 

consistentemente con il primo esempio.

"Serie" di funzioni

Fin qui tutto tranquillo, da qua in poi invece la sparo grossa! Proviamo qualcosa di più difficile. Consideriamo

f(x) = … exp ln exp ln exp ln exp x            (ii)

Questo caso non si può trattare come sopra, perché non sappiamo distribuire la funzione inversa. Espandendo in serie il logaritmo e l’esponenziale vicino a 0, si ottiene

f(h) = … - 1 + 1 - 1 + (1 + h)

f(0) = 1/2

ove abbiamo ricordato che 1 - 1 + 1 - 1 … = 1/2. Deriviamo la (ii) rispetto ad x applicando la regola di derivazione a catena:

f’(x) = … (exp ln exp x / exp ln exp x) (exp x / exp x)

Ognuno dei dei fattori contiene una sequenza finita di funzione/funzione inversa, che supponiamo si mangino tra loro. Ricordando (i) si ottiene

f’(x) = … exp x / exp x * exp x / exp x = exp (x/2)

f(x) = 2 exp (x/2) - 3/2

Avrà un senso tutto ciò? E in quale astruso mondo matematico? Sarebbe interessante studiare serie infinite generiche del tipo

rispettivamente alternanza di funzione-funzione inversa, e successione di funzioni.

Update. Non è difficile applicare i ragionamenti sopra al primo dei due casi qua sopra. Mi risulta che f(x) è data dall’equazione differenziale