Mi ero intrippato recentemente con le serie infinite non convergenti, oggetti matematici solo formalmente notati con una simbologia consueta, ma la cui definizione rigorosa è ben più sofisticata. Delle operazioni originali queste serie conservano alcune proprietà che permettono di maneggiarle, con qualche cura. Per esempio sommando e togliendo un’unità infinite volte si ottiene con un po’ di manipolazione

y = + 1 - 1 + 1 - 1 + …

   = + 1 - (+ 1 - 1 + 1 - …)

   = 1 - y

Quindi y =1/2. Un risultato non rigoroso ma "rigorosizzabile".

Qualcosa di semplice

Mi chiedo quindi se oltre alle serie (somme ripetute) si possano considerare operazioni reiterate più generali. Un esempio abbastanza ovvio è il seguente (non è affatto una "serie" divergente o senza limite):

y = 1 * 1 * 1 * …

   = 1 / (1 / (1 * 1 * 1 *…))

   = 1 / (1 / (1 / (1 /… )))

   = 1 / y

Quindi y = 1. Wow! Potete andare a letto contenti ora. Proviamo qualcosa di meno ovvio. Prendiamo una potenza infinita di una qualsiasi costante (prendiamo il numero di Nepero e):

y = e * e * e * …

   = exp [ (ln e) (1 + 1 + 1 …) ]

   = rad (1/e)

ove abbiamo sfruttato una serie divergente importante, 1+1+1+… = -1/2, non ottenibile con semplici giochetti matematici. Formula che mi piace provocatoriamente riassumere con

ove \omega è il primo ordinale transfinito, definito da \omega = {0,1,1+1,1+1+1,…}. Questo esempio non si può svolgere in maniera intuitiva: non valgono infatti nel caso della serie di 1+1+1+… e la somma di Ramanujan 1+2+3+4+… le comuni regole di manipolazione (leggo su wikipedia che non sono Abel-sommabili). Infatti provando a manipolare come sopra

y = e * e * e * … = e / (1 / (e * e * e *… )) = e * y

Quindi e = 1, nonsense a meno che non si prenda proprio 1 al posto di e (il fatto che non ci sia nessun giochetto elementare per ottenere queste serie è veramente scocciante, d’altra parte Ramanujan non sarebbe stato un genio altrimenti).

Proviamo quindi qualcosa di simile a quanto visto l’altra volta

y = e / e * e / e * e / e …

   = e / ( e / e * e / e * e …)

   = e / y                                (i)

quindi y è la radice di e. Il risultato è abbastanza ovvio: se si prende il logaritmo si ottiene

ln y =1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 + … 

consistentemente con il primo esempio.

"Serie" di funzioni

Fin qui tutto tranquillo, da qua in poi invece la sparo grossa! Proviamo qualcosa di più difficile. Consideriamo

f(x) = … exp ln exp ln exp ln exp x            (ii)

Questo caso non si può trattare come sopra, perché non sappiamo distribuire la funzione inversa. Espandendo in serie il logaritmo e l’esponenziale vicino a 0, si ottiene

f(h) = … - 1 + 1 - 1 + (1 + h)

f(0) = 1/2

ove abbiamo ricordato che 1 - 1 + 1 - 1 … = 1/2. Deriviamo la (ii) rispetto ad x applicando la regola di derivazione a catena:

f’(x) = … (exp ln exp x / exp ln exp x) (exp x / exp x)

Ognuno dei dei fattori contiene una sequenza finita di funzione/funzione inversa, che supponiamo si mangino tra loro. Ricordando (i) si ottiene

f’(x) = … exp x / exp x * exp x / exp x = exp (x/2)

f(x) = 2 exp (x/2) - 3/2

Avrà un senso tutto ciò? E in quale astruso mondo matematico? Sarebbe interessante studiare serie infinite generiche del tipo

rispettivamente alternanza di funzione-funzione inversa, e successione di funzioni.

Update. Non è difficile applicare i ragionamenti sopra al primo dei due casi qua sopra. Mi risulta che f(x) è data dall’equazione differenziale