E ora finalmente i reali. Ribadisco che queste note sono la stesura di pensieri di alcuni mesi fa, la premessa di discussioni già iniziate che mi hanno portato a scoprire che la risposta ai miei dubbi si trova alle voci Paradosso di Skolem, Teorema di Lowenhein-Skolem, e in frasi tipo (da wikipedia)

Thus the first-order theory of real numbers and sets of real numbers has many models, some of which are countable. The second-order theory of the real numbers has only one model, however.

Vale la pena comunque ripercorrere il filo dei miei ragionamenti. Nel frattempo mi sono reso conto che era vana la speranza di portarmi dietro qualche illetterato (matematicamente parlando), non ho fatto il lavoro che avrei voluto per rendere questo discorso terra-a-terra, per cui mi arrendo e vado un po’ più spedito.

Finita informazione

Nella scorsa puntata ho chiarito (od oscurato?) in che senso ogni numero razionale contiene finita informazione: essi sono esprimibili come stringhe finite, decodificabili secondo assiomi anch’essi scritti con finita informazione. Variando gli assiomi interpretativi possiamo generare altri insiemi numerici: per esempio i numeri algebrici, tutti i numeri che si possono scrivere a partire dagli interi sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo, potenziando e prendendo radici. Ma posso anche generare il numero trascendente (irrazionale non algebrico) pi greco con la sola frase "circonferenza del cerchio di diametro unitario". Con finita informazione sale a bordo anche il numero di Nepero

e = 1 + [1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8…]

ove le parentesi quadre indicano frazione continua, ed anche il numero di Chaitin

probabilità che una sequenza casuale di stringhe si fermi quando messa come input in una macchia di Turing. Questo numero è ben definito, ma non è computabile. Per il teorema di Lindemann-Weierstrass sono trascendenti anche il logaritmo di ogni numero razionale diverso da 1 e le funzioni trigonometriche di numeri algebrici:

log q,                    q razionale

sin a, cos a, …       a algebrico

e molti altri. Insomma vi sono parecchi insiemi numerabili di numeri i cui membri sono rappresentabili con finita informazione. Più avanti mi chiederò quanti "parecchi".

Gli assiomi dei reali

Va da se che la maggior parte dei numeri reali, comunemente intesi come stringhe di infinite cifre aperiodiche, sembrerebbero sfuggire ad una caratterizzazione di finita informazione. Queste stringhe sono intuitivamente in relazione biunivoca con l’insieme potenza dell’insieme dei numeri naturali, e pertanto sono ovviamente una quantità più che numerabile, della cardinalità del continuo.

Questa caratterizzazione dei numeri reali è ovviamente insoddisfacente. Non è accettabile postulare che le definizioni siano "infinite", e pertanto gli assiomi di Dedekind cercano di abbracciare l’enormità dei reali con assiomi più ragionevoli che contengono solo finita informazione (quanta le lettere alfabetiche che li compongono + un vocabolario della lingua + alcune definizioni preliminari), a partire da quelli che caratterizzano i razionali (ordinatezza, etc.) e aggiungendo l’assioma di Dedekind, o del continuo. In pratica questo assioma asserisce che ogni numero che produce una partizione della retta reale in due segmenti, uno a "destra" e uno a "sinistra", deve essere esso stesso un numero reale.

Meglio detto con un esempio. Consideriamo pi greco, il numero più antico della storia dell’intelligenza umana. Divide la retta in due sottinsiemi, quello a sinistra di tutti i numeri reali inferiori a pi greco, e quello a destra dei numeri maggiori. Ma allora anche pi greco è un numero reale. La stessa cosa non succede con i razionali: pi greco divide i razionali in tutti i razionali che lo approssimano dal basso, di cui fa parte per esempio la successione

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159 …

e a destra tutti quelli che lo approssimano dall’alto, tra gli altri

4, 3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160 …

Questi sono tutti razionali, ma il limite delle due successioni non lo è.

Sembra una tautologia? Quando ho colto cosa voleva dire questo assioma in soldoni, mi urtava il fatto che la validità dell’assioma dipendesse da come si definisce un numero reale. Secondo Dedekind sembra che i numeri in qualche misura ci siano già, prima, tutti definiti, e che si tratti soltanto di assegnarli ai vari insiemi numerici. Allora in questo senso si dice che l’assioma di Dedekind è "topologico", nel senso che richiede che R sia completo: ogni successione convergente (limitata) in R converge ad un elemento di R, e si posa questa struttura dei numeri reali su un sottofondo dato di numeri che esistono a priori, che sono i numeri dell’esperienza, come pi greco, la radice di due, etc. Il problema è: come sono definiti questi numeri? Chi sono?

In verità l’assioma di Dedekind non dice altro che questo:

E’ reale ogni numero definibile

ove per numero si intende una parte intera ed una successione di cifre decimali dopo la virgola (non stiamo qui a preoccuparci dei numeri immaginari e oltre). Definito un numero posso sicuramente costruire una successione che vi converga, ed una qualsiasi successione convergente ad un numero definisce quel numero, purché essa stessa sia definita. Definibile in un qualche linguaggio. Quale?

Se esiste una successione di cifre decimali non definibile (non sto parlando di computabilità, ma di definibilità) posso tranquillamente estrometterla dai numeri reali a cuor leggero. Nessuno potrà mostrarmi una successione di R convergente a quel numero, altrimenti lo avrebbe definito e sarebbe dentro anche lui. Ma adesso la domanda diventa: quanti sono questi numeri non definibili, e quanti sono i numeri definibili? Possiamo costruire un modello dei reali numerabile, che includa tutti i tagli di Dedekind che è possibile definire con finita informazione, in maniera tale che nessuno possa venire a dirmi "guarda che questo spazio non è completo, perché manca il limite di questa successione", perché non potrà mai mostrarmi una tale successione.

Una precisazione: è ovvio che i "reali" comunemente intesi come stringhe infinite soddisfano agli assiomi di Dedekind, e pertanto sono un modello dei reali. Ci mancherebbe altro. Ma non è detto che siano l’unico, e non è detto che non esista un modello dei reali numerabile.

La possibilità di costruire modelli diversi dei reali dipende dal linguaggio che stiamo impiegando per definirli. Nell’ultimo paragrafo vado a tentoni cercando di chiarirmi le idee su quali e quanti reali siano definibili e formulando domande, si spera, più pertinenti. Nel frattempo devo prima attaccare il teorema che sembrerebbe impedire l’esistenza di modelli numerabili dei reali.

L’argomento di Cantor

Dell’argomento di Cantor ho già argomentato qua, e già avevo cominciato ad esprimere i primi dubbi sulla sua validità. Ora posso chiarire (ma non motivare! Ribadisco che questa è fanta-matematica con le bollicine). In breve: Cantor dice che se (un modello de) i reali fosse numerabile, potremmo enumerarlo (vedete dove volevo arrivare!) mettendoli in fila uno dietro l’altro, magari usando una bella macchina di Turing che esegue il lavoro per noi. Poi grazie al beneamato assioma della scelta pigliamo una cifra da ognuno, con cui formiamo un nuovo numero di infinite cifre decimali e mostriamo che questo numero non può stare nella lista.

Dove sta l’errore? Due opzioni, che in verità dicono la stessa cosa:

1) Un insieme può essere numerabile, ma per quanto detto in precedenza non è detto che sia enumerabile. Cantor ha mostrato semplicemente che il numero diagonale di Cantor non è enumerabile nella stessa enumerazione degli elementi del modello. Magari in un’altra enumerazione si, ma non sarà più lui il numero diagonale di Cantor!

2) Supponiamo che il nostro modello numerabile sia costituito di numeri reali definiti con finita informazione. Allora l’argomento di Cantor ci dice semplicemente che il numero diagonale di Cantor non fa parte di quell’insieme, ossia non è definito con finita informazione. Nessuno potrà darmene una definizione che non richieda necessariamente di specificarne tutte le infinite cifre decimali, oppure equivalentemente nessuno potrà dare un ordinamento dei numeri del modello semplice ed elegante che con una formuletta mi consenta di conoscere il numero di Cantor.

Fuoripista: la dimostrazione tramite Baire

Credo che analoghe considerazioni si possano fare nel caso della dimostrazione tramite teorema di Baire fornita da Stefano qui, dimostrazione peraltro elegante. Non ho la pazienza di analizzarla nel dettaglio; ho l’impressione però che nasconda sotto il tappeto le stesse problematiche che ho evidenziato sopra. Soprattutto, non credo che ci si debba appellare a teoremi avanzati di topologia per chiarire una questione fondazionale. Se questa dimostrazione dovesse essere pienamente soddisfacente, dovrebbe esserci anche una soluzione pienamente soddisfacente a livello dell’argomento di Cantor.

Che fare?

Data tutta questa premessa, sono tante le domande che ci si può porre. Le metto in ordine sparso. Premessa: per linguaggio logico intendo un sistema semantico convenzionale per esprimere definizioni, proprietà etc. Può essere logica del primo o del second’ordine, ma non è escluso che si possano prendere in cosiderazione altri sistemi formali.

1) Successioni numerabili? Prendiamo un insieme numerabile e consideriamo tutte le successioni. Queste sono un infinità non-numerabile. Quante sono quelle convergenti ad elementi estranei all’insieme di partenza? Se sono numerabili, allora i tagli di Dedekind sono numerabili e il completamento dell’insieme di partenza è sempre numerabile. A questo punto bisogna considerare i nuovi tagli di dedekind che si generano con le successioni convergenti nel completamento, che sono numerabili*numerabili = numerabili. Poi ancora e ancora. Alla fine è possibil che si arrivi ad un 2^numerabili tagli di Dedekind indipendenti da aggiungere?

2) Ogni numero reale è definibile? Dato un numero reale qualsiasi (di infinite cifre aperiodiche), esiste sempre un linguaggio logico, un sistema di assiomi interpretativi ed una stringa finita che permetta di generarlo, preso singolarmente? Per esempio, se considero l’immagine del logaritmo per ogni razionale, ottengo numeri irrazionali. Se considero ogni possibile funzione definita con finita informazione, ed in una logica del secondo ordine le faccio correre su tutti i razionali, quanti numeri reali ottengo? Tutti? Oppure ci sarà sempre quel maledetto numero a cui non puoi arrivare neanche così?

3) Non numerabile ma neanche non-non-numerabile. Possibile che la questione di quanti siano VERAMENTE i numeri reali sia indecidibile?

Queste sono solo alcune delle domande che mi turbano, e spero che mi turbino ancora per poco. Forse Skolem mi libererà per sempre da questa confusione mentale.