Oggi ho tenuto la seconda lezione su dinamica e termodinamica della master equation, e prossimamente renderò pubblica una dispensina anonima. E’ stata una lezione piacevole, in cui ho coperto qualche buco lasciato nella precedente, fatto qualche esempio pratico ed integrato con un po’ di entropia che tira sempre un sacco.

Stamattina preparando la lezione mi sono accorto di un fatto molto semplice che rafforza alcuni sospetti che covo da tempo. La termodinamica della master equation si avvale di alcuni importanti risultati di teoria dei grafi, in particolare il concetto di albero, il teorema di Hill, il teorema di Kirkhoff e le basi di circuiti fondamentali. In particolare dato un grafo connesso, un albero è un insieme massimale di rami del grafo che collegano tra di loro tutti i vertici senza formare circuiti. Per esempio per il grafo a 6 verticie 7 rami

|X|X|

gli alberi sono

|\|\| ; |/|/| ; |\|/| ; |/|\|

|X/|  ; |X\|  ; |\X|  ; |/X|

|XX  ;  XX|

Sono grafi ad albero le reti idriche e i bacini idrografici.  Un circuito fondamentale si ottiene aggiungendo uno dei rami rimanenti ad un qualsiasi albero. Tutti i circuiti così ottenuti formano una base in termini della quale si possono scrivere tutti gli altri circuiti, e al variare dell’albero generatore si ottiene una base diversa.

L’applicazione alla meccanica statistica di non-equilibrio di questi concetti risiede nel fatto che certi funzionali valutati lungo i circuiti fondamentali hanno interpretazione come forze macroscopiche che mantengono il sistema in esame in uno stato stazionario lontano dall’equilibrio. Queste forze macroscopiche consentono di abbassare i gradi di libertà del sistema, passando da una descrizione microscopica (ramo per ramo) ad una descrizione macroscopica: tutta l’informazione sul sistema è contenuta nelle forze fondamentali. Questo è esattamente il mandato della meccanica statistica e della termodinamica: descrivere configurazioni microscopiche che sfuggono al nostro controllo, tramite opportuni potenziali termodinamici macroscopici ed eventualmente un principio di massima entropia (che ancora non esiste nel non-equilibrio).

La mia fissa è il passaggio al continuo. Sono sempre più convinto, come avevo accennato qua e qua, che passando al continuo tutta questa teoria si trasformi in una bellissima teoria di gauge (per fisici), o di coomologia (per matematici), ove il ruolo dei circuiti fondamentali è sostituito dai loop di Wilson (per fisici), o dalle olonomie (per matematici).

Mi conforta quest’osservazione. Per ottenere la teoria del continuo devo considerare reticoli, non grafi generici: un retiolo d-dimensionale posso vederlo andare, al limite di spaziatura infinitesima, in uno spazio continuo. Grafi più connessi corrisponderebbero a spazi con patologie topologiche. Come mi ha segnalato un commentatore, l’analisi non-standard potrebbe essere il giusto framework per dare un senso preciso alla mia procedura di limite. Io infatti considero soltanto transizioni a "primi vicini", e quindi mi immagino di definire la derivata come vero e proprio rapporto di infinitesimi, non come limite "per ogni epsilon esiste un delta". Se N è il numero di vertici (per unità di volume V), ogni albero contiene N-1 rami e pertanto rimangono (d - 1 )N + 1 rami con cui formare i circuiti fondamentali. La descrizione per forze macroscopiche diminuisce di uno la dimensionalità del sistema! Questa è una sorta di principio olografico, principio ipotizzato da ‘t Hooft che sostiene che la fisica nel bulk di un sistema sia descritta con gradi di libertà che vivono sulla (iper)superficie, e per il momento corroborato soltanto dalla dualità di teorie molto peculiari come AdS/CFT. C’è però nell’aria l’idea che il principio olografico sia un byproduct della nostra comprensione del mondo in termini di informazione ed entropia, e mi pare che questo abbia risonanza con l’invarianza di gauge e del teorema di Stokes. In particolare è abbastanza stupefacente che un risultato che dovrebbe fittare bene in questo quadro indiziario e che potrebbe tornare utile è un teorema di loop quantum gravity (sic!) sul fatto che la conoscenza di una base di loop di Wilson (invarianti di gauge) permette di ricostruire tutta la connessione di gauge.

Per cui fantastico di una connessione tra queste cose (ed ho sulla scrivania almeno un libro a riguardo di ognuna che attende invano la mia attenzione):

- teoria di grafi

- meccanica statistica di non-equilibrio

- processi stocastici continui (eq. forward di Kolmogorov)

- teoria di de Rham / gauge

- Yang-Mills su reticolo

- teoria dei loop / loop quantum gravity

- olografia

- teoria dell’informazione

- massima entropia

Un’altra domanda interessante potrebbe essere, molto più semplicemente (o forse no), che cosa diventano gli alberi in un passaggio al continuo? Integrali sui cammini in uno spazio dei cammini?