Il teorema di Gromov:

Il cammello simplettico non passa per la cruna dell’ago.

E’ un teorema piuttosto recente (metà anni ‘80) e poco conosciuto ai fisici, ma di grande importanza. La formulazione originale è leggermente più rigorosa (non ho neanche idea di dove si trovi nell’articolo, mi viene il mal di testa solo a sfogliarlo; non a caso ha vinto l’Abel prize quest’anno). Tuttavia il concetto è piuttosto semplice.

…tanto per usare un parolone. Le trasformazioni simplettiche (pensate al flusso di un sistema fisico hamiltoniano) preservano il volume nello spazio delle fasi. Intuitivamente, questo significa che il volume delle condizioni iniziali del problema di Cauchy della meccanica classica rimane invariato per evoluzione hamiltoniana: non si perde informazione per la strada.

Ma non è tutto qui. Le trasformazioni che lasciano invariato il volume sono quelle con determinante della jacobiana F uguale a 1 (e quindi l’elemento di volume è preservato dx’ = dx), mentre quelle simplettiche lasciano invariata la forma simplettica J:

(volume preserving)         

(symplectic)                  

Infatti mentre posso trasformare un compatto in un lungo spaghetto conservando lo stesso volume e facendo quindi "passare" lo spaghetto nella cruna dell’ago, comunque sia orientata questa cruna, lo stesso non può succedere per il cammello simplettico. La simpletticità è molto più forte della conservazione del volume, le due sono equivalenti solo per F in Sl(2,R) (gruppo simplettico di matrici reali 2 X 2). In uno spazio 2n-dimensionale, posso deformare simpletticamente i volumi quanto voglio, e posso schiacciarli ma rispettando l’area di certe sezioni particolari. E’ come se aveste un palloncino che pensate di poter schiacciare in tutti i modi che volete, e invece sospeso dentro il palloncino non vi eravate accorti che c’è un anello rigido che impedisce di comprimerlo nel piano individuato dall’anello.

Il teorema si chiama anche non-squeezing, e non ne ho trovata una dimostrazione semplice in giro. Ma il concetto si può intuire con un caso particolare e qualche immagine. Le variabili canoniche vengono in coppie coniugate:

Canoniche sono tutte le trasformazioni che lasciano invariate le parentesi di Poisson:

Prendiamo in considerazione le più semplici trasformazioni che preservano il volume: dilatiamo una variabile di un fattore a e contraiamo un’altra variabile di un fattore 1/a. Per esempio è simplettica la trasformazione:

ma non lo sono

anche se preservano il volume. Controllare le parentesi di Poisson per credere. Pertanto, non posso contrarre a piacere contemporaneamente entrambe le variabili coniugate. Ed ecco qua il nostro cammello (scusate le dimensioni dispari, ma quattro dimensioni proprio non ci riesco a visualizzarle):

La cruna dell’ago per cui vogliamo farlo passare è orientata lungo un piano di variabili non coniugate (asse nero / asse grigio) e pertanto si può comprimere a piacimento:

Se invece orientiamo la cruna nel piano individuato da due variabili coniugate (assi neri):

non c’è verso di schiacciarcelo dentro.

Il principio di indeterminazione

Variabili coniugate tali che tanto più piccola è l’imprecisione sull’una, tanto più grande quella sull’altra… vi ricorda qualcosa? Qualche fisico perspicace ha pensato bene che questo teorema potesse servire per fare una piccola incursione nella Meccanica Quantistica:

M A de Gosson, The Symplectic Came Principle and Semiclassical Mechanics
M A de Gosson, Symplectic Non-Squeezing Theorems, Quantization of Integrable Systems, and Quantum Uncertainty

L’idea è questa. Una trasformazione simplettica possiede altri invarianti oltre che il volume. Supponiamo di comprimere il cammello B più che possiamo fino a farlo stare tutto in un cilindro. La sezione del più piccolo cilindro in cui riuscite a schiacciarlo è detta capacità simplettica A(B) ed è un invariante per simplettomorfismi.

Ci sono molti fatti interessanti relativi a questo invariante. Per esempio, se considerate un compatto B, tutte le orbite periodiche C sulla superficie del compatto hanno azione maggiore della capacità simplettica di quel compatto

ed esiste almeno un orbita per cui l’uguaglianza è soddisfatta. Ora questa condizione ricorda molto da vicino la condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, che conosco molto bene perché ha giocato un qualche ruolo nella mia tesina triennale:

Sembra tutto perfetto… fino a qui. I problemi interessanti arrivano adesso: i) da dove salta fuori la costante di Planck? ii) dove sta scritto che non posso prendere un compatto piccolo a piacimento? iii) e tutto il resto dello spettro? iv) ed il fatto che la regola di Bohr-Sommerfeld è semiclassica? Sono ansioso di leggere la soluzione a tutti questi problemi quando mi rendo conto, ad una prima occhiata, che negli articoli su esposti:

i) la costante di Planck è introdotta, così, senza una motivazione teorica

ii) viene postulato che non ci possano essere celle simplettiche con capacità inferiore a 1/2 h

iii) viene definito un sistema quantizzato quando una combinazione dell’azione e di un certo indice topologico (di Maslov) è intero

iv) la trattazione è inerentemente semiclassica

Così, a occhio e croce, mi sembra che si stia postulando un po’ troppe cose, la più grave delle quali è la quantizzazione (peraltro approssimata) dello spettro, che dovrebbe essere una predizione della teoria. Unico caso in cui tutto funziona bene: l’immancabile oscillatore armonico, che come ben noto è il sistema quantistico in cui l’approssimazione semiclassica è esatta (anche le equazioni del moto per i valori medi sono uguali identiche a quelle classiche).

Tuttavia ci sono tantissimi punti di contatto con la teoria dell’Equivalence Postulate che qui non racconterò, ma che valgono la pena di essere approfonditi.

Informazione e costante di Planck

Ma perché fermarsi quando si può sproloquiare ancora un po’ dilungandosi inutilmente? Delle varie assunzioni che de Gosson fa, quella più necessaria è quella sull’esistenza di un limite inferiore alla precisione sperimentale. La comparsa della costante di Planck è un fatto assolutamente misterioso, se non altro per motivi dimensionali, essendo indipendente da ogni altra costante, e deve essere assunta con contratto a tempo… indeterminato. Che l’informazione che uno sperimentatore può raccogliere su un sistema sia finita è un fatto del tutto ragionevole, se non altro per motivi di finitezza dell’hardware che raccoglie l’informazione, degli strumenti di misura etc. Ma la meccanica quantistica fissa questo limite superiore con una costante, e questo fatto non è intuitivo, perché classicamente uno può sempre pensare di migliorare la propria misura. Per esempio riducendo il rumore e quindi le interazioni con il sistema stesso. Rimarrà pur sempre il segnale necessario per captare il fenomeno, ma anche questo si potrà ridurre.

In meccanica classica infatti le interazioni infatti sono sotto controllo. Possiamo schermarle, bilanciarle, neutralizzarle. Tranne una. La gravità. Quella non si può schermare, e per quanto uno si ingegni, l’interazione gravitazionale che l’apparato sperimentale esercita sul sistema è intrinsecamente ineliminabile, perché la gravità non è una forza, ma è la forma stessa dello spazio-tempo, e quindi anche della posizione e impulso dell’apparato di misura e del sistema. Questa peculiarità della gravità mi fa pensare che, se deve esistere una spiegazione di stampo informazionista dell’origine dell’incertezza, questa debba necessariamente coinvolgere la gravità.