Correlazione e interferenza
Nei commenti ad un post precedente è in corso una discussione sulla natura peculiare del concetto di variabile aleatoria in meccanica quantistica. Si assiste infatti a questo fenomeno. Le variabili aleatorie coniugate X e P sono perfettamente ben definite e hanno una misura di probabilità indipendente dal tempo, se il sistema si trova inizialmente in un autostato dell’hamiltoniana. Tuttavia queste due variabili sono intrecciate in maniera tale che non abbia senso chiedersi quale sia la probabilità congiunta di X e di P, a meno di non inserire una nozione di "prima" e "dopo", e quindi rompendo la simmetria per traslazione e inversione temporale che è alla base della conservazione dell’energia e dell’informazione.
Quindi, volendo tentare di incastrare questa teoria in una teoria classica delle probabilità (di cui non sappiamo a priori la misura di probabilità e lo spazio degli eventi), ci si scontra con il fatto che
P(X=x,P=p) diverso da P(P=p,X=x)
Qual è il problema con la MQ? Le due variabili aleatorie X e P non sono soltanto dipendenti, nel senso che l’eventualità dell’una modifica l’eventualità dell’altra, ma accade che l’eventualità dell’una modifica la legge di probabilità cui obbedisce l’altra o (che è la stessa cosa) l’insieme degli eventi che sono misurabili: un evento di quello spazio, accadendo, modifica lo spazio stesso rendendo non misurabili eventi che prima lo erano e viceversa. Si compie quindi un salto meta-logico. La parola adeguata potrebbe essere interferenza.
Faccio un semplice esempio.
Variabili aleatorie interferenti
Ho tre monete: due normali (fifty-fifty) ed una truccata (1/3 testa, 2/3 croce). La prima moneta lanciata decide quale delle altre due monete bisogna usare per il secondo lancio. Per esempio se lancio prima una moneta normale avrò:
I° II° congiuzione
1/2 T 1/3 T 1/6 TT
2/3 C 1/3 TC
1/2 C 1/2 T 1/4 CT1/2 C 1/4 CC
Se lancio prima quella truccata ho
I° II° congiuzione
1/3 T 1/2 T 1/6 TT
1/2 C 1/6 TC
2/3 C 1/2 T 1/3 CT1/2 C 1/3 CC
La meccanica quantistica è come chiedersi la probabilità
P(truc=C,norm=C) = P(truc=C|norm=C)P(norm=C)
= 0 * 1/2 = 0
dal momento in cui quella truccata non viene lanciata se la normale risulta croce, e confrontarla con
P(norm=C,truc=C) = P(norm=C|truc=C)P(truc=C)
= 2/3 * 1/2 = 1/3
Non dico che questo sia corretto dal punto di vista probabilistico, anzi… Dico però che la MQ forse funziona proprio così, e che non si tratta solo di correlazioni strane tra v.a. classiche.
Continuo a perdermi fra notazioni ambigue (magari solo per me) e regole sott’intese:
P(truc=C,norm=C) significa che do per scontato che la prima momenta sia truccata? O che devo verificarlo (si sott’intende che si ha un terzo di probabilità di partire nei lanci con la moneta truccata?) Nel primo caso, direi che la probabilità è semplicemente 2/3*1/3, mentre nel secondo caso direi: 1/3*2/3*1/3. Infatti non capisco nemmeno cosa tu intenda con la notazione: P(truc=C|norm=C). Io ero rimasto che il | indicasse la probabilità condizionata, ovvero leggerei P(truc=C|norm=C) come la probabilità di avere croce al dado truccato se ho ottenuto croce al dado normale. Ma stiamo parlando di due lanci diversi (il primo e il secondo)? Allora se al secondo lancio ho ottenuto croce, non è impossibile (0) che il primo lancio fosse croce anch’esso col dado truccato: è proprio l’ultima riga della tua seconda tabella. Dove sbaglio a capire? Avresti la pazienza di chiarirmi?
Grazie!
Comment by hronir — May 5, 2009 @ 8:56 am
Certo che ho la pazienza. E’ un miracolo che tu abbia la pazienza di leggere! Allora, in primo luogo metto sempre a destra l’evento che viene prima, per cui
P(truc=C,norm=C)
è la probabilità che nel primo lancio la moneta normale abbia dato croce e nel secondo la moneta truccata abbia dato croce. Questa probabilità è sicuramente nulla perché in base alle regole del gioco se la prima moneta dà croce il secondo lancio deve essere effettuato con una moneta normale. L’eventualità del primo evento ha modificato l’esistenza stessa del secondo.
Viceversa
P(norm=C,truc=C)
è la probabilità che lanciando per prima la moneta truccata questa dia croce (2/3) e che lanciando per seconda una moneta normale questa dia croce (1/2), probabilità congiunta = 1/3.
I due eventi non commutano.
Lo so che è uno sporco trucco, ma quello che sto dicendo è che la MQ funziona così, e non colà, e che il comportamento delle variabili quantistiche non può essere compreso con una teoria tradizionale delle probabilità a meno che non decido di inserire delle informazioni in più, che qualche malizioso potrebbe chiamare “variabili nascoste”.
Comment by Administrator — May 5, 2009 @ 9:09 am
Ok, si’, ora e’ chiaro (e potevo anche arrivarci da solo).
Cmq il punto e’ che, in certo senso, stai ancora barando (lo spazio di probabilita’ non dovrebbe essere solo “a due parametri”, definito solo sull’esito di due monete, ma dovrebbe avere altre due entry booleane che specificano ciascuna se la prima e la seconda moneta sono, rispettivamente, truccate o meno. In questo caso i paradossi svaniscono perche’ quelli che avevi chiamato “lo stesso evento”, non sono affatto lo stesso evento.
Ma del resto questo e’ precisamente quello che avviene in MQ per il fatto che una “singola misura” e’ in realta’ una doppia misura fatta in istanti successivi, e dunque la seconda misura non e’ fatta “sullo stesso stato” della prima (e dunque, come nel tuo esempio, non vale la commutativita’ degli argomenti).
Insomma, non e’ questo il problema della meccanica quantistica. Se tutto il problema della meccanica quantistica fosse il fatto che una misura di x altera il momento p e viceversa, non staremmo qui a scervellarci. Se fosse semplicemente come la raccontano spesso gli sperimentali, e cioe’ che “fare una misura perturba il sistema”, non ci sarebbe niente di scandaloso.
Lo scandalo e’ che la misura non e’ descritta come un processo fisico, perche’ il collasso della funzione d’onda non e’ un’evoluzione a’ la Schroedinger. Eppure ha effetti “fisici” perche’ possiamo misurare delle correlazioni “a distanza”. Eppure ancora sono correlazioni che, con un incredibile cospirazione, non permettono di mandare “informazione” a velocita’ superluminale.
E’ evidente che c’e’ sotto qualcosa che ancora non capiamo.
Comment by hronir — May 6, 2009 @ 6:46 am
Credo che siamo arrivati ad un buon punto di intersezione. E’ proprio così, l’evento è incompleto perché manca una variabile che mi dica quale moneta tiro per prima e quale per seconda. Lo stesso in quantistica. Però vedi che prima del processo di misura non c’è nessun motivo per inserire una variabile in più: le due v.a. X e P hanno ognuna una distribuzione di probabilità definita ad ogni tempo senza nessuna nozione di “prima” e “dopo”. Per cui è lecito chiedersi quale sia la loro probabilità congiunta; e a questo è possibile rispondere in fisica classica, ove la misura dell’una perturba l’altra perché le variabili sono correlate (selezionando un’ipersuperficie nello spazio delle fasi).
La cosa sorprendente in MQ è che quando ti poni la stessa domanda, ti rendi conto che le due v.a. non sono solo correlate, ma interferiscono perché l’una definisce la misura di probabilità dell’altra. E se vuoi una descrizione completa devi inserire una “variabile nascosta”.
Come dici tu, si intrecciano due livelli semantici: il problema è che lo stato fisico del sistema (cioè quella che io chiamo l’”eventualità” di una v.a.) determina la sua funzione d’onda (cioè la sua “misura di probabilità”).
In fondo credo che non stiamo dicendo cose molto diverse. A differenza tua però io credo che questa descrizione debba rimanere incompleta; perfettibile, ma incompleta.
Comment by Administrator — May 6, 2009 @ 7:47 am
Massì, in fondo stiamo dicendo le stesse cose.
Quel che volevo sottolineare in tutto ciò, che è anche il punto da cui è partita questa discussione, è che, in fondo, non mi pare si sia riusciti davvero a trovare esempi classici di quel che accade in MQ. Quando provi ad inventarti un caso classico, come quello delle monete, stai introducendo cmq il concetto di misura “postuma”, esattamente come accade in meccanica quantistica. Solo che in meccanica classica puoi sempre esplicitare una “variabile nascosta” (il tipo di dado, truccato o meno) che permette di definire una probabilità congiunta del tutto normale, in uno spazio di parametri opportunamente allargato (che include appunto le variabili nascoste). In QM, Bell docet, questo non è possibile.
Comment by hronir — May 6, 2009 @ 9:46 pm