So, what was I doing these past few weeks that could possibly take precedence over writing ill-considered blog entries that I’d probably regret for the rest of my life? (Scott Aaronson)

Io personalmente sto cercando di arrivare ad una stretta con alcuni lavoretti relativi al mio ambito di expertise (haha), che poi sarebbe la meccanica statistica di non-equilibrio. Una scienza interessante ancorche’ inesistente, la scienza del tutto, perche’ ogni sistema e’ di non-equilibrio, e quindi destinata a non poter dire (quasi) niente di sintetico. Sono in vena di citazioni, ed una prima che mi viene in mente e’ questa:

"Non tentare le essenze, ma contentarsi delle affermazioni quantitative" (Galileo)

I Teoremi di Fluttuazione (FT) lontano dall’equilibrio sono la moda del momento in NESM, e di fatto sono i primi risultati che valgono lontano dall’equilibrio, non soltanto nel "regime lineare". Me ne sono occupato in tesi ed ora mi sto accodando alla moda. Se cercate sugli archivi "fluctuation theorems" troverete centinaia di articoli scritti negli ultimi anni; e notando i nomi degli autori vi renderete conto che ci sono delle autentiche fabbriche di pubblicazioni che lavorano a ritmo serrato. Nella maggior parte degli articoli non troverete una sola considerazione nuova, tantomeno una formula o una predizione; chi aveva qualcosa da dire (per esempio, Lebowitz) l’ha gia’ detta parecchi anni fa’ e poi se ne e’ stato zitto.

I FT sono affermazioni relative alle probabilita’ di traiettorie in uno spazio degli stati in cui avvenga un qualche tipo di dissipazione, dissipazione che puo’ essere descritta per mezzo di approcci stocastici oppure tramite sistemi dinamici non-hamiltoniani (per esempio i cosidetti "termostati"). Alla base del FT transiente sta il fatto che la probabilita’ che una traiettoria sia effetto di un’evoluzione "indetro nel tempo" e’ esponenzialmente soppressa rispetto alla stessa traiettoria prodotta dall’evoluzione "avanti nel tempo"

ove l’esponente e’ dato dall’entropia prodotta lungo la traiettoria (se vi disturba il fatto che si consideri la probabilita’ di una singola traiettoria, considerate che quella a SX sia una derivata di Radon-Nycodim e questa relazione una semplice conseguenza del teorema di Girsanov-Cameron-Martin, con un’opportuna identificazione di s(\gamma).). Il vero e proprio teorema di fluttuazione si ottiene integrando rispetto a tutte le traiettorie che hanno una certa entropia e ricordando che l’entropia e’ dispari per inversione temporale:

C’e’ pero’ un qualcosa di tautologico nei teoremi di fluttuazione. In primo luogo, hanno una validita’ troppo generale. Essi colgono l’essenza (ma non l’Essenza) dell’irreversibilita’, ma dubito che possano dare predizioni quantitative significativamente lontano dall’equilibrio, a meno di non trovarsi nei casi assolutamente banali in cui e’ stato finora "sperimentato" il teorema. In secondo luogo, le definizioni e le ipotesi alla base sono un po’ troppo ad hoc, e con tali definizioni il teorema e’ una banalita’.

Il mio lavoro attualmente consiste nello studiare quali sono le ipotesi implicite dei teoremi. Con il mio relatore di tesi ci siamo resi conto che queste ipotesi e definizioni hanno un valore puramente matematico, ma non hanno consistenza fisica. A partire dal concetto di entropia lungo una traiettoria, a quello di inversione temporale. Considerate il film di un uomo che cammina in avanti; i TF confrontano la probabilita’ che si realizzi la traiettoria dell’uomo che cammina avanti rispetto alla traiettoria descritta dall’uomo nel film proiettato all’indietro. Fisicamente, invece, in laboratorio si confronta il film dell’uomo che cammina in avanti con il film dell’uomo che si sforza di camminare all’indietro ripercorrendo tutti gli stati "macroscopici" che aveva attraversato prima. La differenza e’ tutta qui, e si fa’ sentire.

Spesso nell’incipit degli articoli che trattano del teorema di fluttuazione si parla dell’esempio del gas in compressione in un pistone per visualizzare comodamente il sistema. A noi risulta, gia’ per un modellino iper-iper-iper semplificato di un tale gas, che le proprieta’ statistiche delle grandezze termodinamiche "fisiche" divergono significativamente dal TF, e passare a modellini piu’ complessi non puo’ che peggiorare la situazione. In secondo luogo, parrebbe che le assunzioni alla base dei singoli approcci presumano in qualche modo di essere vicini all’equilibrio Per esempio, l’utilizzo di una descrizione basata sul moto browniano non deve dimenticare quali sono le ipotesi alla base, cioe’ che la particella risenta di urti scorrelati e con statistica gaussiana: vale a dire che siamo vicino all’equilibrio. E all’equilibrio, dove tutto e’ gaussiano o eredita le proprieta’ delle gaussiane, il teorema e’ ovvio.

Se dai nostri risultati venisse fuori un quadro coerente, saremo molto piu’ delicati nel comunicarlo.

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In questa foga distruttiva (ma istruttiva) sto anche personalmente cercando di produrre qualcosa di piu’ creativo e divertente: un principio variazionale decente per gli stati stazionari di non-equilibrio, basandomi sulla teoria di Schnakenberg. La citaziona appropriata e’ sicuramente questa:

Spero di avere qualcosa di concreto da scrivere presto. Per il momento segnalo solo questo byproduct. Vicino all’equilibrio e’ pacifico che forze termodinamiche e correnti coniugate siano legate dalla relazione

ove L_ab e’ una matrice indipendente dallo stato del sistema e simmetrica. Quest’ultima proprieta’ viene detta reciprocita’ di Onsager, ed e’ un fatto parecchio affascinante: dice che l’effetto reciproco, per esempio, di una differenza di temperatura sulla corrente elettrica e di una differenza di potenziale sulla corrente di calore e’ lo stesso. Mi risulta che questa stessa relazione valga anche in stati stazionari di non-equilibrio, ove pero’ la matrice L_ab dipendera’ dallo stato del sistema, e pertanto non si puo’ parlare di regime lineare. Cionondimeno, le relazioni di reciprocita’ resistono invariate.

Semprerebbe che le relazioni di Onsager valgano arbitrariamente lontano dall’equilibrio; se (e sottolineo se) le relazioni di Onsager nel regime lineare sono testabili senza variare lo stato del sistema, allora in principio lo sono anche in stati stazionari di non-equilibrio. Altrimenti, bisognerebbe variare le correnti senza variare lo stato del sistema, cosa in principio possibile sulla carta ma, credo, molto poco praticabile sul piano pratico. In questo modo si "simulerebbe" di fatto un regime lineare, e quindi siamo sempre da capo: la NESM rivelerebbe ancora una volta quella che io credo sia la sua incapacita’ intrinseca di parlare del suo oggetto di ricerca.