Ci sono molti elementi che mi portano a ipotizzare, un po’ astrattamente, che ci sia un collegamento tra meccanica statistica di non-equilibrio e la geometria delle varietà curve, secondo questo schemino:

Il più immediato è questo che segue. Considerate l’operatore di diffusione di Fokker-Planck

 

ove gli indici ripetuti si intendono sommati. Gli stati stazionari annullano l’operatore di diffusione. Ci sono due modi perché questo succeda: che si annulli la corrente (il termine tra parentesi quadre), o che questa abbia divergenza nulla. Nel primo caso si parla di equilibrio e nel secondo di non-equilibrio.

Se volessimo promuovere quest’equazione da R^n ad una generica varietà differenziale M, potremmo sostituire alle derivate parziali le derivate covarianti rispetto ad una qualche connessione, ottenendo un operatore sostanzialmente diverso:

Siccome la matrice di diffusione è simmetrica, la si può interpretare come tensore metrico, che a sua volta induce una connessione di Levi-Civita in termini della quale l’operatore di diffusione si scrive con grande economia di simboli

 

ove la generalizzazione del laplaciano è detto operatore di Laplace-Beltrami. Questa è di fatto l’equazione di una diffusione con rumore bianco delta-correlato, ed è quella che generalmente si studia (il libro di riferimento per queste cose è quello di Ikeda-Watanabe).

Tornando alla questione dell’equilibrio/non-equilibrio. La derivata covariante agisce sulle funzioni scalari come la derivata parziale, mentre aggiunge termini ai tensori di ordine superiore, per cui i due operatori differiscono per un termine

 

ove le Gamma sono i coefficenti di Christoffel della connessione. Essi coincidono solo in corrispondenza di stati d’equilibrio. In particolare, questo implica che gli stati d’equilibrio dell’equazione di Fokker-Planck siano tali in ogni sistema di coordinate, perché se valutato su uno stato di equilibrio il generatore si comporta come un tensore, ed essendo nullo rimarrà nullo in ogni altro sistema di coordinate. Lo stesso non si può dire per generici stati di non-equilibrio.