Qualche sera fà ad una festa la mia ragazza ha chiesto la ricetta della torta di riso soffiato (che con mio disgusto si è poi rivelata una torta a base di Mars… comunque buona) alla ragazza che l’aveva portata. La ricetta è semplicissima, e apprendiamo che per perfezionarla basta iscriversi al gruppo Facebook "fan della torta di Mars" e discutere con gli altri accounts. Certo, come avevamo fatto a non pensarci prima. Probabilmente basta digitare "torta di Mars" qui in alto a destra e scegliere tra i primi tre risultati: internet non si esaurisce con Facebook, ma non è di questo che voglio parlare…

Forse uno dei motivi principali per cui non ho e non avrò mai un account Facebook (fino a prova contraria) è che non potrei fare parte dei "fan" di niente. Non perché non abbia le mie passioni, è proprio la parola "fan" che mi in-fan-stidisce. Io non sono fanatico delle variazioni Goldberg, non fanatizzo neanche per il risotto con le salamelle, e d’altra parte la maggior parte della gente non ha affatto un amore ossessivo e monocratico per la maggior parte delle cose che dice di "amare" o "adorare", come neppure ha un’idiosincrasia per le cose che dice di "odiare". Questo è un discorso che molto meglio di me ha fatto Kundera ne L’Immortalità, e di riflesso anche con il discorso sul kitsch ne L’Insostenibile Leggerezza dell’Essere, quando (vado a memoria) descrive l’insofferenza della protagonista per una signora impudica che, nuda in sauna, ad alta voce non fà che declamare il suo amore per il caldo, la detestabilità di questo, non lo posso soffrire, ma tu non lo adori…

Non voglio però neanche parlare di questo modo di esprimersi, iperbolico, manicheo, che è universale e infastidisce solo quando diventa un continuo tentativo di imposizione della propria (debole) identità e di accentramento del proprio ego spigoloso. Cercavo invece di riflettere su quest’altro fenomeno: la caratterizzazione di sè stessi. Ovverosia, l’aggiunta di caratteri per definire la propria personalità, la costituzione di gusti, abitudini e atteggiamenti in funzione della costruzione della propria persona, anzi, del proprio personaggio. Questa parola, "personaggio", che si legge e sente sempre più di frequente e che io ho bandito dal mio vocabolario, perché trovo offensiva. Voler diventare un personaggio, con un ruolo ben definito all’interno della dialettica di gruppo, è un comportamento infantile. Quando ero bambino, per via delle orecchie a sventola, venivo chiamato Dumbo; e per non soffrire il dileggio ho reagito appropriandomi di quel soprannome, e in qualche modo (per esempio auto-schermendomi) incorporando quella mia caratteristica fisica nel mio "personaggio". Quando ho visto che c’era interesse perché ero stato in Egitto, ero diventato l’egittologo della classe. Giocavo a basket, e quindi dovevo coltivare la "passione" per Michael Jordan e i Chicago Bulls. C’era un altro che disegnava solo dinusauri perché aveva la più grande passione per i dinusauri, c’erano quelle del club delle bambine che non so cosa facessero, etc. etc. L’abbiamo passata tutti, la definizione della nostra personalità e la paura della non-accettazione.

Questo percorso credo che si attenui quando si impara l’empatia e si capisce che gli altri sono nella stessa nostra condizione, anche se non finisce mai veramente. A volte mi sembra che il parlare per "odio/amore" faccia ancora parte del processo di definizione della propria persona. Ero già alle medie quando una mia amica mi disse che lei si lavava alla mattina sempre con l’acqua gelata, e mi chiese "e te?". Risposi che anch’io adoravo lavarmi con l’acqua fredda, e vedendola così contenta di aver trovato un suo simile, cominciai effettivamente a lavarmi con l’acqua fredda, cosa che faccio ancora perché nel frattempo è venuta a mancare la pazienza di attendere quella calda.

Quindi io ADORO lavarmi con l’acqua fredda. Mi piace giocare a Tetris, amo Lennie Tristano, non sopporto le cose dolci, non posso soffrire i cani. C’è chi adora la cucina messicana piccante, che più piccante non si può, chi ha fatto un corso di greco, chi quello di fotografia. Spesso ho l’impressione che le persone sviluppino interessi effimeri, un po’ approssimativi, che servono più che altro a caratterizzare la persona. Aggiorna la lista: cucina svedese, danza hip-hop, cartomanzia, in palestra una volta alla settimana. Forse questa impressione è più che altro dovuta alle liste di interessi che compaiono sui social network, liste che mi rifiuterei di compilare (scusate, sono in un momento così) e che costituiscono un’altra ulteriore barriera invalicabile alla mia trionfale discesa in campo. Forse proprio su internet, data la grande connettività e massificazione, si assiste un po’ alla regressione all’infanzia, al bisogno di definire un’identità per aggiunta di caratteri, al bisogno di identificarsi in un gruppo per tratti caratteristici schematici e sperficiali. Mi chiedo semplicemente che effetto possa avere questo sulle reali abitudini e interessi delle persone.

Domani questo blog tacerà, così potrà risuonare più alta la voce di brullo vespa. Ma non potevo lasciarvi senza un po’ di compiti per le vacanze.

Negata la tessera a Beppe Grillo, con un ridicolo escamotage burocratico: la tessera và presa nel comune di residenza. Vorrà dire che Grillo potrà tornarsene in patria e farsi la tessera, chi glielo impedirà? Perché inalberarsi così? Non valeva la pena accoglierlo a braccia aperte e far finta di accettare la candidatura? Eventualmente, applicando lo statuto che gli impedirebbe, pur avendo la tessera, di candidarsi?

"Un partito non è un autobus", tuona Bersani. E’ vero, un partito è una cosa seria, è una cosa vostra, e non del primo che passa.

Peccato che siano stati proprio quelli del PD a ricattare l’intero arco della sinistra, con la pagliacciata delle primarie per fingersi "partito democratico" di maggioranza, costringendo la gente con il "voto utile", nonostante questo perdendo inesorabilmente quota, approvando tutto sommato le soglie del 4% che privano un buon 10% di popolazione del diritto di voto, e istigando di fatto una campagna popolare contro la frammentazione della sinistra.

Cosa deve fare allora uno che per caso volesse entrare in politica, metti il caso che abbia anche delle belle idee, un sacco di gente che lo supporta, l’appoggio di associazioni etc.? Deve fondare un altro partito infinitesimo? Oppure entrare nel PD, fondare una corrente (ah no, le correnti sono vietate nel PD) e provare a conquistarlo?

E’ vero, il PD è un autobus. Siete voi che l’avete voluto così.

E adesso chiudo la bocca.

E’ da un po’ di tempo che sto ragionando intorno ad un possibile legame tra due oggetti molto distanti, ma in un certo senso analoghi in quanto "circuitanti".

Da un lato abbiamo le forze termodimaniche che mantengono un sistema lontano dall’equilibrio, in stati stazionari in cui fluiscono correnti, ed entropia è scambiata costantemente con l’ambiente. Forze e correnti costituiscono gli osservabili macroscopici fondamentali della meccanica statistica di non-equilibrio, e nella rappresentazione dei processi di Markov su grafo hanno una elegante interpretazione in termini dei cicli (o circuiti) del grafo.

Dall’altro abbiamo i Wilson loops delle teorie di gauge, o per meglio dire le olonomie di una connessione in geometria Riemanniana. Detto in parole povere, se camminate in circolo su una superficie curva in una maniera "naturale", cioè dettata da una particolare regola che vi dice come avviene il trasporto parallelo (una connessione), quando sarete al punto di partenza vi potreste trovare orientati in una direzione diversa da quella di partenza. L’olonomia vi dice, per ogni circuito, di quanto vi siete girati.

Il motivo per cui è ragionevole pensare che ci sia un simile collegamento è dovuto al fatto che le correnti (microscopiche) stazionarie obbediscono ad una legge locale di conservazione:

Quest’equazione ha due possibili classi di soluzioni. Se allo stato stazionario le correnti si annullano si parla di stato d’equilibrio, in cui vale il bilancio dettagliato. In questo caso tutto è fermo. L’altra possibilità è che la corrente sia (in tre dimensioni) il rotore di un potenziale vettore

e quindi che vi siano delle correnti non-nulle che circolano attraverso il sistema e che si bilanciano perfettamente in ogni punto dello spazio. Si intuisce che queste correnti devono fluire in circuiti per non disperdersi all’infinito. Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

E’ questa l’invarianza di gauge della teoria che ci fà pensare ad una corrispondenza tra gli osservabili della meccanica statistica di non-equilibro e le olonomie della connessione, alias il potenziale vettore. Notare che il gruppo di gauge sarebbe, molto banalmente, U(1), e come in elettromagnetismo classico esiste una corrente di Noether e quindi una carica conservata: in questo caso si tratta della probabilità totale, ovverosia l’"informazione", normalizzata ad 1.

Diffusione su grafo

L’equazione da cui partiamo è un’equazione di continuità ai nodi di un grafo G=(V,E), una collezione di nodi (vertices) e di rami (edges) tra nodi:

che afferma che la variazione della probabilità di trovarsi in un sito j del grafo dipende dalla somma delle correnti uscenti da quel sito, correnti che sono antisimmetriche per inversione dei nodi (sono forme antisimmetriche). Le correnti hanno una dipendenza funzionale dalla probabilità che non ha veramente importanza per quanto segue, ma che generalmente assume questa forma:

ove \Delta è la matrice laplaciana di un grafo orientato e con pesi lungo i rami, e come accennato qui generalizza ad un’operatore di Laplace-Beltrami nel passaggio ad una varietà. Noi saremo interessati soltanto alle proprietà "topologiche" del grafo, e quindi non abbiamo bisogno di considerare la specifica forma che la laplaciana assume ed i pesi lungo i rami.

Teoria dei grafi

Come trasportare la nozione di invarianza di gauge alla teoria dei grafi, ed in particolare all’applicazione di quest’ultima alla teoria delle maglie di Kirkhoff? Una delle matrici fondamentali, che contengono l’informazione "topologica" di un grafo orientato (ove l’orientazione assegnata ai rami è arbitraria e irrilevante), è la matrice di incidenza che per ogni ramo e, e ogni nodo i ci dice se il ramo parte o arriva al nodo, oppure se non lo tocca:

La matrice di incidenza è un operatore lineare dallo spazio R^E delle combinazioni lineari di rami del grafo, allo spazio R^V delle combinazioni lineari di nodi. Per questa ragione è utile trasferire tutta l’informazione contenuta nella matrice antisimmetrica delle correnti in un vettore in R^E:

La definizione è più involuta di quanto serva: j è semplicemente il vettore delle correnti lungo i rami. In termini di questo vettore l’equazione di continuità nello stato stazionario, detta legge di Kirkhoff, si scrive semplicemente:

La matrice di incidenza svolge quindi il ruolo del gradiente nel continuo. Le proprietà della matrice di incidenza sono ben note: il suo kernel è rappresentato dai circuiti di un grafo, mentre l’immagine della sua trasposta (le righe della matrice) sono una base per lo spazio dei cocicli, secondo le definizioni date l’altra volta. Cicli e cocicli formano spazi ortogonali, e la legge di Kirkhoff afferma che la corrente stazionaria è combinazione lineare di una base di circuiti fondamentali del grafo:

C’è un modo canonico per individuare questa base, ma ne discuterò in futuro (queste promesse sempre disattese…).

La matrice co-laplaciana

Definiamo ora una nuova matrice prendendo il prodotto matriciale della matrice di incidenza e della sua trasposta, in questo ordine:

C è un endomorfismo nello spazio vettoriale delle combinazioni lineari di rami del grafo. Di questo operatore ho cercato di congetturare proprietà dello spettro e degli autovalori, prima di rendermi conto che lo spettro coincide (a meno della moltiplicità dell’autovalore 0) con quello del suo duale, il "laplaciano topologico"*

un oggetto ben conosciuto. Inoltre, A’ = C- 2I rappresenta la matrice di adiacenza del line graph di G, ossia del grafo che si ottiene invertendo rami e vertici adiacenti con vertici e rami (ma C non è la matrice laplaciana del line graph, quindi la trasformazione non è involutiva).  Le entries di C sono date da

Lo spettro risulta essere particolarmente semplice per grafi completi di grado k, che hanno autovalore 0 in corrispondenza dei cicli e autovalore (k+1) in corrispondenza dei cocicli. In questo caso gli operatori

sono proiettori rispettivamente nello spazio dei cocicli e nello spazio dei cicli. Diversamente, se il grafo è meno regolare lo spettro si arricchisce di autovalori positivi in maniera poco prevedibile. Ciò che importa è che se \lambda_i, i = 1,…,V-1, sono gli autovalori nonnulli di C (il perché, per un grafo connesso, siano V-1 è sempre rimandato al famoso seguito…) si ha

ove abbiamo implicitamente definito l’operatore "perpendicolare" a C (da non confondere con un proiettore ortogonale). Torniamo alla nostra equazione di continuità, che riscriviamo nella forma

senza perdita di informazione.** La corrente j è un autovettore dell’operatore perpendicolare:

 

 

Possiamo finalmente calcolare la circuitazione di f lungo un qualsiasi circuito fondamentale del grafo:

ove (,) è il prodotto scalare euclideo. Questa è la famosa olonomia della connessione lungo un circuito. Se ora facciamo una trasformazione di gauge, essendo i circuiti annichiliti da C, si vede subito che le olonomie sono invarianti, come ci si aspetta. Inoltre, ogni osservabile gauge-invariante (e.g. la corrente) si può scrivere come combinazione lineare di olonomie.

- - -

Nella prossima puntata (se ci sarà):

- a cosa servono le olonomie in meccanica statistica di non-equilibrio

- che cosa vuol dire gauge-fixing

- quali paralleli può offrire questo quadro

(alla prossima…)

* Il problema di caratterizzare gli autovettori in termini di combinazioni lineari di cocicli, e gli autovalori interi in termini di proprietà combinatorie dei degree dei vertici rimane, e la visualizzazione grafica offerta da C potrebbe aiutare a capire meglio lo spettro di L.

** L’operatore C rappresenta quindi una sorta di grad div, che si annulla per tutte le div j =0, a meno di una costante. Una domanda interessante è chiedersi quale sia lo spettro di grad div, quali i suoi autovettori e se questi possano ammettere un’interpretazione analoga a quella in teoria dei grafi come combinazioni lineari di "cocicli".

Le prime reazioni alla candidatura di Grillo alle primarie sono state balbettanti, scollate, istintive. Dimostrano incertezza e preoccupazione. Che fare? Impedirgli di tesserarsi? Ma, francamente, come si fà a negare la tessera a quella specifica persona perché non condivide pienamente le posizioni del partito? Chi mai si è preso la briga di scannerizzare i propri tesserati (tra i quali uno stupratore seriale…)?

Ma ragazzi, suvvia, non siate ridicoli, e anzi, sfruttate questa occasione che Grillo vi porge sul piatto. E’ ovvio che la sua candidatura non può sopravvivere al congresso che selezionerà i tre candidati alle primarie (altrimenti, che cazzo di partito c’avete in mano che non riesce a resistere neanche ad un po’ di claque organizzata?). Fingete apprezzamento per l’aggiungersi di una voce in più, diversa. Dimostrate un po’ di nobiltà e di superiorità alle strategie dell’"apparato", che fate solo bella figura. E poi, sfruttate l’occasione per normalizzare Grillo: d’ora in poi, essendo un tesserato, avrete sempre la carta vincente del "ci critica, ma lui è dei nostri; siamo generosi a non espellerlo", e della responsabilità e disciplina di partito etc.

Io lo so che le primarie sono una stupidaggine. Perché mai la gente dovrebbe votare il leader di un partito? In America la gente vota il candidato presidenziale, non il presidente. E’ un tantino diverso. Capisco la vostra paura di intrusioni rispetto ad un già difficile mosaico. Ma non è possibile che ogni candidatura "di peso", come quella di Di Pietro, o quella di Grillo, venga rigettata. Perché Scalfarotto disceso sulla Terra dall’Inghilterra sì e Grillo no?

Update. Come fà notare Soffri, da Statuto del PD non si possono candidare alle primarie gli iscritti dopo la data di indizione delle stesse, e quindi Grillo sarebbe in ritardo di un mese. Perfetto. Il regolamento è il regolamento, non vedo perché fare eccezioni per Grillo. Però a ’sto punto lui per decenza dovrebbe farsi la tessera.

Corollary. Certo che è un bel figliolo. Figurarsi se non sapeva che il regolamento gli impedisce di candidarsi. E lui che fà? Si canda lo stesso, per poi essere respinto e poter lanciare anatemi e ingiunzioni contro l’"apparato" (a proposito, "apparato" sarà il tormentone dell’estate, scalzando il desueto "casta").

Come sapete l’altro giorno, a 48 ore dall’inizio del G8, sono scattati vari arresti di disobbedienti per i fatti di Torino. Come ben detto qui, la puntualità degli arresti, le persone interessate (guardacaso miratamente tutti leader di centri sociali/collettivi, ma c’erano solo loro?), e (almeno a Padova) la ruvidezza dell’operazione sono molto sospette, e preoccupano.

Preoccupa soprattutto il tentativo di tagliare le gambe un movimento che probabilmente dal prossimo autunno ritroverà nuove energie, se non saremo tutti fuggiti nel frattempo, e di alzare i toni in vista di un G8 che si preannuncia fallimentare, e quindi bisogna scaricare il fallimento sulle proteste. Questo G8 invoca già il suo morto.

Tornando agli arresti. Con alcune di queste persone ho avuto anche un’antipatia personale, che è sfociata in litigi (e minacce), per cui capirete se non sarò molto tenero. Riprendo da un commento lasciato su piovonorane (riguardo a tutt’altro), opportunamente modificato: 

Guardate gli arresti per gli scontri a Torino. Chi sono questi che si sono piazzati alla testa del corteo? Secondo voi esprimono l’opinione e i metodi di quelli che marcian dietro? E se non condividessi le loro parole? Come mi sentirò quando alla televisione si parlerà solo di loro?

E’ anni e anni che partecipo a manifestazioni, iniziative etc. anche molto attivamente, non ho mai cercato di farne credito e credo che questo sia lo spirito giusto per costruire una partecipazione dal basso condivisa. L’analogia è che puntualmente si è sempre instaurata un’”avanguardia” portatrice di un messaggio e di un metodo che non può mai essere quello di tutti ed in particolare il mio, ma che poi finisce con l’essere l’unico messaggio che filtra sui nostri media riduzionisti.

Anche il logo-nome Onda è ormai compromesso, e se la protesta monterà ancora il prossimo autunno, bisognerà che venga definitivamente abbandonato. Perché l’Onda dovrebbe partecipare alle manifestazioni per la TAV, per il DalMolin, per il Mose (fronti che condivido) seguendo l’agenda politica dei disobbedienti? Perché le assemblee aperte finiscono sempre inevitabilmente per essere dei comizi dei soliti "scienziati politici" sgrammaticati, di chi urla di più nel megafono e di chi la sà più lunga degli altri?

Un’ultimo sfogo. Ora invocano solidarietà e amnistia. Ma di che antisistema sei se ti appelli all’indulgenza del sistema? Se le forze dell’ordine e il sistema giudiziario sono tuoi nemici, se sono eserciti avversari, tu non fai ricorso al giudice di pace, alla corte d’appello, al Presidente della Repubblica, tu ti dichiari prigioniero politico e ti cucchi la pena, senza appello. Per una questione di integrità.

Se siete riusciti a leggere tutto il post sulla matrice dei circuiti di un grafo, meritate i miei complimenti, ed un complemento. Voglio mostrarvi come sia possibile ricavare gli autovettori della matrice di flusso per sola via grafica, almeno nel caso semplice di un grafo completo.

Innanzitutto, devo migliorare la qualità delle congetture. Facevo una inutile distinzione tra la matrice di flusso e la matrice D^TD, che differiscono di un multiplo dell’unità. Pertanto d’ora in poi mi riferirò a quest’ultima come alla matrice di flusso. Mi piace la teoria dei grafi perché è una scienza induttiva, e non deduttiva; perché è combinatoria, e perché è tuttosommato semplice. Lavorando ad alcuni esempi sono arrivato alla conclusioone che questa matrice abbia come autovalore 0, in corrisponenza dei circuiti, con relativo autospazio di dimensione E - V +1, ove E è il numero di rami e V quello di vertici. Possiede inoltre l’autovalore V, ed il relativo autospazio (V-1)-dimensionale è ortogonale a quello dei circuiti.

Prendiamo in considerazione il grafo completo con 6 vertici e con 6!/(2!4!) = 15 rami (che non è planare), cui assegnamo un’orientazione arbitraria:

Quindi scegliamo un albero ricoprente, per esempio

Aggiungendo uno dei rami rimanenti (detto "corda") e "defogliando" dai rami inutili si individua una base di circuiti fondamentali:

Questi sottografi (chiamiamoli, con poca fantasia, "flussi") costituiscono autovettori della matrice di flusso, relativamente all’autovalore che conta il numero di percorsi dallo stato iniziale a quello finale, che in un grafo completo è pari al numero di vertici V. I grafi che si ottengono con questa prescrizione sono una base per tutti i grafi analoghi, a partire da un qualsiasi albero. La regola di composizione è molto semplice: se F_1 ha il ramo ij marcato dalla doppia freccia, e F_2 ha il ramo jk marcato dalla doppia freccia, allora la loro somma F_1 + F_2 ha il ramo ik marcato da doppia freccia. Interessante poi constatare (per via algebrica) che questi autospazio è ortogonale all’autospazio dei circuiti.

(Update) Uno spazio vettoriale ortogonale allo spazio dei cicli è lo spazio dei cocicli (un risultato dovuto a Gallai), insiemi minimali di vertici che disconnettono il grafo. Una base di cocicli si può generare prendendo il complemento dell’albero generatore dei circuiti (co-tree), aggiungendo ad esso i rami rimanenti (detti twigs) ed eliminando i rami che non contribuiscono a disconnettere il grafo. L’orientazione dei rami del cociclo si impone orientando i rami da uno dei due domini sconnessi all’altro. I cocicli NON sono autovettori della matrice di flusso, ma ovviamente ogni vettore di flusso si può scrivere come combinazione dei cocicli in maniera molto semplice. Se F_1 è il flusso da i in j, si nota subito che F_1 è la somma dei due cocicli che separano i dal resto del grafo, con orientazione uscente, e di quello che separa j dal resto del grafo, con orientazione entrante:

Tutta questa regolarità è dovuta all’ipotesi che il grafo sia completo. E’ interessante chiedersi cosa possa succedere se il grafo non è completo (ma comunque ridotto). In questo caso la matrice di flusso può avere diversi autovalori positivi (in base al numero di percorsi di due rami che collegano i due vertici estremali), con relativi autospazi.

Ancora una volta, vale la pena enfatizzare che tutto ciò non è dimostrato, ma solo congetturato, nell’attesa che si manifesti quell’ovvio riferimento bibliografico che, ad opera di indistinguibili ignoti cinesi o di illustri scienziati russi che negli anni ‘60 nascondevano le proprie scoperte in assurde riviste sovietiche, tratta tutto ciò e molto di più con il dovuto rigore.

Mi piacciono così tanto, ma COSI’ TANTO, i candidati alla leadership del PD che sarei stato francamente in imbarazzo a dover scegliere tra uno dei tre. So che avrei occupato l’urna per ore oscillando impazientemente la matita tra le dita. Per fortuna Rutelli ha pensato a me eliminandone uno con l’abbraccio della morte, dopo il bacio di Giuda di Veltroni.

Spero che Marino riesca a stare alla larga da ogni sponsor, compresi i miserevoli piombini.

I circuiti di un grafo orientato rivestono un ruolo fondamentale in meccanica statistica di non-equilibrio, ove i rami dei grafi rappresentano le possibili transizioni tra stati, ed in termini di circuiti e alberi massimali si costruiscono le grandezze termodinamiche macrocopiche, come le correnti stazionarie e le forzanti esterne.

La matrice di incidenza e la laplaciana

Se |E| è il numero di rami e |V| il numero dei vertici, la matrice di incidenza è una matrice |E|X|V|. Se se ne prende il prodotto matriciale per la matrice trasposta si ottiene la matrice |V|X|V| detta laplaciana (di cui lap(l)aciano è sicuramente un cultore):

ove d_j è il grado del sito, pari al numero di rami che vi afferiscono. Ma non è di questa che voglio parlare.

La matrice di "confluenza"

Molto più interessante per i miei scopi è la matrice |E|X|E| che si ottiene prendendo il prodotto inverso

che ha 2 sulla diagonale, +1 se i due rami confluiscono o provengono dallo stesso vertice e -1 se fluiscono attraverso i. Per questo battezzo la parte non diagonale di DD^T la matrice di "confluenza" F non avendone trovato menzione in letteratura (e lancio l’appello…). Quesa matrice si può intendere come un endomorfismo lineare in uno spazio vettoriale. Ogni sottografo o grafo che si possa ottenere considerando anche più ripetizioni dello stesso ramo orientato si può rappresentare come un vettore sul gruppo dei numeri interi. Esempi espliciti sono riportati più sotto.

Disclaimer: Tutte le affermazioni da qua in poi sono congetturali: nessuna dimostrazione, probabili toppe e pezze a venire.

L’operatore F sembra avere interessanti proprietà.

1) Dato un grafo non orientato G, si ha una rappresentazione della matrice di confluenza G per ogni possibile orientazione arbitraria dei rami del grafo. Congetturiamo (e dev’essere molto semplice dimostrare) che le congetture che seguono siano indipendenti dall’orientazione scelta.

2) F è invertibile (e quindi è un automorfismo) se (non saprei il "solo se") il grafo è privo di foglie ed è ridotto, ovverosia sono eliminati tutti i vertici cui confluiscono solo uno o due rami. In sostanza, partendo da un grafo qualsiasi facciamo la seguente "ristrutturazione":

fig. 1

Questo non deve risultare scandaloso, ha senso fisico: nello stato stazionario tra una foglia e il resto del sistema vige una condizione di bilancio dettagliato, che è locale. Rimuovere la foglia non modifica la termodinamica del resto del grafo. Sempre nello stato stazionario, la riduzione di due spigoli consiste nel sommare le relative "differenze di potenziale", mentre la corrente che fluisce, e per la quale vigono leggi di conservazione ad ogni vertice, è la stessa: ancora la termodinamica del resto del grafo rimane invariata. Per cui considero solo questo tipo di grafi.

3) Le proprietà interessanti di F riguardano i circuiti. E’ abbastanza semplice convincersi che D^TD = 2I + F si annulla in corrispondenza di tutti i (quasi)circuiti orientati, come questo:

fig. 2

Questi notoriamente formano un sottospazio lineare chiuso nello spazio dei sottografi, in quanto combinazioni lineari di circuiti orientati sono ancora circuiti orientati. Infatti sono tutti autovalori relativi all’autovalore -2 dell’operatore F. Per esempio il grafo in figura è scomponibile in 4 circuiti fondamentali (essendo planare, si può scegliere come base i circuiti che tagliano porzioni finite di piano). In verità questa non è una proprietà di F, ma della matrice di incidenza D stessa.

4) Più interessante è cercare di capire che cosa combina F su un qualsiasi grafo, andando alla ricerca degli autovettori rimanenti. Per questo ho soltanto l’analisi spiccia di un paio di esempi. Considero il grafo planare (ma non k-regolare, il che dà problemi)

 

fig 3

La matrice di confluenza è (scusate il segno meno, non avevo voglia di cambiare tutte le entries)

i cui autovalori sono -2,-2,-2,-2,-2,3,3,3,1 (tranquilli, non li ho calcolati a mano). Si notano con il segno negativo i cinque autovalori relativi all’autospazio di dimensione 5 dei circuiti, e due autospazi relativi ad autovalori positivi. La somma degli autovalori è nulla, essendo pari alla traccia che è un invariante.

5) Trovare gli autovettori di una matrice, si sa, è una bella rottura. Sarebbe bello avere una ricetta meccanica per individuare i sottografi che costituiscono gli autovettori relativi agli autovalori positivi, ed una espressione esplicita per il loro relativo autovalore in termini di loro proprietà "topologiche" come connettività, grado etc. Una prima ipotesi è quella di cercare tra i cocicli, insiemi minimali di rami che dividono il grafo in due sottografi disgiunti, in qualche modo duali ai circuiti, ma purtroppo non funziona (ma il "purtroppo" in matematica non esiste: le cose sono o non sono, e non c’è da dispiacersi altrimenti). Per i circuiti c’è un tale trucco, ed è abbastanza semplice. Si può per esempio partire da un albero, aggiungere una corda e buttare via quello che non serve. Per i sottospazi ortogonali, so’ cazzi. Ma sto diventando abbastanza bravo a trovare gli autovettori per via grafica, con un po’ di fantasia.

Prendo due vertici opposti e disegno tutti i percorsi dal primo al secondo che contengono due rami, conteggiando due volte un percorso diretto. Faccio in modo di toccare tutti i vertici del grafo. Se i due vertici sono collegati direttamente, ottengo un autovettore relativo all’autovalore 1, altrimenti ne avrete uno relativo all’autovalore 3:

 

fig 4

 

 

fig 5

Purtroppo la stessa costruzione non funziona benissimo per altri due vertici a caso; ma ci dev’essere qualcosa sotto.

6) Se il grafo è completo, la ricetta qua sopra è esatta e lo spazio ortogonale ha rango |V| - rk(F + 2I). Interessante in questo caso è andare ad analizzare gli operatori di proiezione, ma sarà fatto in un’altra puntata.

7) Può essere interessante domandarsi se esiste una matrice che sta ai cocicli come F sta ai cicli.

8) L’operatore F agisce in uno spazio vettoriale definito su un gruppo, non su un corpo. La cosa non dà problemi perché F ha solo autovalori interi, e quindi ogni vettore si può scrivere come combinazione lineare intera degli autovettori di F. L’analisi dello spettro di questo operatore permette di dare una decomposizione esplicita di OGNI grafo (di quelli che consideriamo noi) in termini di circuiti e… un’entità ancora abbastanza informe.

* Il motivo per cui mi sono addentrato nei risvolti della matrice di incidenza è perché questa permette di transitare da una rappresentazione in rami ad una rappresentazione in vertici del grafo; la matrice di incidenza in un certo senso è l’operatore che calcola il "bordo" di un insieme di vertici, e si può definire analogalmente un operatore di "cobordo". I circuiti orientati sono grafi senza bordo. Mi interessano molto le analogie tra teoria dei grafi e la teoria di Hodge-deRham, di cui parleremo un’altra volta. Segno solo un appunto. Le grandezze termodinamiche (e.g. le forze microscopiche A) che ci interessano sono antisimmetriche per inversione del senso dei rami de grafo. Le due possibili rappresentazioni che ne possiamo dare sono come un vettore nello spazio lineare dei rami del grafo, o come matrice antisimmetrica in rappresentazione "vertici":

Questo blog partecipera’ allo sciopero dei blog proposto da Gilioli il 14 luglio e spero sia presto disponibile un banner all’altezza di Magic Italy. Ma vi lascio con questo amaro stralcio da Barnard:

[…] la gestione della vostra vita reale, a contatto con le persone in carne e ossa, nella lotta per civilizzare questo Paese partendo dalla propria famiglia, dal proprio vicino di casa, dalla propria strada, e poi con gli italiani per cambiare gli italiani. E’ lì che serve. E’ lì che cambia la Storia. Non su una banda larga.