E’ da un po’ di tempo che sto ragionando intorno ad un possibile legame tra due oggetti molto distanti, ma in un certo senso analoghi in quanto "circuitanti".

Da un lato abbiamo le forze termodimaniche che mantengono un sistema lontano dall’equilibrio, in stati stazionari in cui fluiscono correnti, ed entropia è scambiata costantemente con l’ambiente. Forze e correnti costituiscono gli osservabili macroscopici fondamentali della meccanica statistica di non-equilibrio, e nella rappresentazione dei processi di Markov su grafo hanno una elegante interpretazione in termini dei cicli (o circuiti) del grafo.

Dall’altro abbiamo i Wilson loops delle teorie di gauge, o per meglio dire le olonomie di una connessione in geometria Riemanniana. Detto in parole povere, se camminate in circolo su una superficie curva in una maniera "naturale", cioè dettata da una particolare regola che vi dice come avviene il trasporto parallelo (una connessione), quando sarete al punto di partenza vi potreste trovare orientati in una direzione diversa da quella di partenza. L’olonomia vi dice, per ogni circuito, di quanto vi siete girati.

Il motivo per cui è ragionevole pensare che ci sia un simile collegamento è dovuto al fatto che le correnti (microscopiche) stazionarie obbediscono ad una legge locale di conservazione:

Quest’equazione ha due possibili classi di soluzioni. Se allo stato stazionario le correnti si annullano si parla di stato d’equilibrio, in cui vale il bilancio dettagliato. In questo caso tutto è fermo. L’altra possibilità è che la corrente sia (in tre dimensioni) il rotore di un potenziale vettore

e quindi che vi siano delle correnti non-nulle che circolano attraverso il sistema e che si bilanciano perfettamente in ogni punto dello spazio. Si intuisce che queste correnti devono fluire in circuiti per non disperdersi all’infinito. Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

E’ questa l’invarianza di gauge della teoria che ci fà pensare ad una corrispondenza tra gli osservabili della meccanica statistica di non-equilibro e le olonomie della connessione, alias il potenziale vettore. Notare che il gruppo di gauge sarebbe, molto banalmente, U(1), e come in elettromagnetismo classico esiste una corrente di Noether e quindi una carica conservata: in questo caso si tratta della probabilità totale, ovverosia l’"informazione", normalizzata ad 1.

Diffusione su grafo

L’equazione da cui partiamo è un’equazione di continuità ai nodi di un grafo G=(V,E), una collezione di nodi (vertices) e di rami (edges) tra nodi:

che afferma che la variazione della probabilità di trovarsi in un sito j del grafo dipende dalla somma delle correnti uscenti da quel sito, correnti che sono antisimmetriche per inversione dei nodi (sono forme antisimmetriche). Le correnti hanno una dipendenza funzionale dalla probabilità che non ha veramente importanza per quanto segue, ma che generalmente assume questa forma:

ove \Delta è la matrice laplaciana di un grafo orientato e con pesi lungo i rami, e come accennato qui generalizza ad un’operatore di Laplace-Beltrami nel passaggio ad una varietà. Noi saremo interessati soltanto alle proprietà "topologiche" del grafo, e quindi non abbiamo bisogno di considerare la specifica forma che la laplaciana assume ed i pesi lungo i rami.

Teoria dei grafi

Come trasportare la nozione di invarianza di gauge alla teoria dei grafi, ed in particolare all’applicazione di quest’ultima alla teoria delle maglie di Kirkhoff? Una delle matrici fondamentali, che contengono l’informazione "topologica" di un grafo orientato (ove l’orientazione assegnata ai rami è arbitraria e irrilevante), è la matrice di incidenza che per ogni ramo e, e ogni nodo i ci dice se il ramo parte o arriva al nodo, oppure se non lo tocca:

La matrice di incidenza è un operatore lineare dallo spazio R^E delle combinazioni lineari di rami del grafo, allo spazio R^V delle combinazioni lineari di nodi. Per questa ragione è utile trasferire tutta l’informazione contenuta nella matrice antisimmetrica delle correnti in un vettore in R^E:

La definizione è più involuta di quanto serva: j è semplicemente il vettore delle correnti lungo i rami. In termini di questo vettore l’equazione di continuità nello stato stazionario, detta legge di Kirkhoff, si scrive semplicemente:

La matrice di incidenza svolge quindi il ruolo del gradiente nel continuo. Le proprietà della matrice di incidenza sono ben note: il suo kernel è rappresentato dai circuiti di un grafo, mentre l’immagine della sua trasposta (le righe della matrice) sono una base per lo spazio dei cocicli, secondo le definizioni date l’altra volta. Cicli e cocicli formano spazi ortogonali, e la legge di Kirkhoff afferma che la corrente stazionaria è combinazione lineare di una base di circuiti fondamentali del grafo:

C’è un modo canonico per individuare questa base, ma ne discuterò in futuro (queste promesse sempre disattese…).

La matrice co-laplaciana

Definiamo ora una nuova matrice prendendo il prodotto matriciale della matrice di incidenza e della sua trasposta, in questo ordine:

C è un endomorfismo nello spazio vettoriale delle combinazioni lineari di rami del grafo. Di questo operatore ho cercato di congetturare proprietà dello spettro e degli autovalori, prima di rendermi conto che lo spettro coincide (a meno della moltiplicità dell’autovalore 0) con quello del suo duale, il "laplaciano topologico"*

un oggetto ben conosciuto. Inoltre, A’ = C- 2I rappresenta la matrice di adiacenza del line graph di G, ossia del grafo che si ottiene invertendo rami e vertici adiacenti con vertici e rami (ma C non è la matrice laplaciana del line graph, quindi la trasformazione non è involutiva).  Le entries di C sono date da

Lo spettro risulta essere particolarmente semplice per grafi completi di grado k, che hanno autovalore 0 in corrispondenza dei cicli e autovalore (k+1) in corrispondenza dei cocicli. In questo caso gli operatori

sono proiettori rispettivamente nello spazio dei cocicli e nello spazio dei cicli. Diversamente, se il grafo è meno regolare lo spettro si arricchisce di autovalori positivi in maniera poco prevedibile. Ciò che importa è che se \lambda_i, i = 1,…,V-1, sono gli autovalori nonnulli di C (il perché, per un grafo connesso, siano V-1 è sempre rimandato al famoso seguito…) si ha

ove abbiamo implicitamente definito l’operatore "perpendicolare" a C (da non confondere con un proiettore ortogonale). Torniamo alla nostra equazione di continuità, che riscriviamo nella forma

senza perdita di informazione.** La corrente j è un autovettore dell’operatore perpendicolare:

 

 

Possiamo finalmente calcolare la circuitazione di f lungo un qualsiasi circuito fondamentale del grafo:

ove (,) è il prodotto scalare euclideo. Questa è la famosa olonomia della connessione lungo un circuito. Se ora facciamo una trasformazione di gauge, essendo i circuiti annichiliti da C, si vede subito che le olonomie sono invarianti, come ci si aspetta. Inoltre, ogni osservabile gauge-invariante (e.g. la corrente) si può scrivere come combinazione lineare di olonomie.

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Nella prossima puntata (se ci sarà):

- a cosa servono le olonomie in meccanica statistica di non-equilibrio

- che cosa vuol dire gauge-fixing

- quali paralleli può offrire questo quadro

(alla prossima…)

* Il problema di caratterizzare gli autovettori in termini di combinazioni lineari di cocicli, e gli autovalori interi in termini di proprietà combinatorie dei degree dei vertici rimane, e la visualizzazione grafica offerta da C potrebbe aiutare a capire meglio lo spettro di L.

** L’operatore C rappresenta quindi una sorta di grad div, che si annulla per tutte le div j =0, a meno di una costante. Una domanda interessante è chiedersi quale sia lo spettro di grad div, quali i suoi autovettori e se questi possano ammettere un’interpretazione analoga a quella in teoria dei grafi come combinazioni lineari di "cocicli".