Newton e il principio di equivalenza
Domani dovrò dare una lezione elementare di Meccanica Razionale (un nome che mi fà tremare al solo pensiero…). I ricordi ritornano alle lezioni ricevute da ottimi ma inflessibili matematici. Devo introdurre il ritratto in fase, e parlare del pendolo. Mi viene in mente un semplice fatto: quando si traccia il grafico di un’energia potenziale V(q), il primo pensiero corre ad una palla senza attrito che rotola giù per pendii
A priori non è affatto ovvio che la dinamica del punto materiale dettata dal potenziale sia la stessa di una pallina posta sullo stesso profilo e soggetta senza attriti a gravitazione uniforme. Ispezioniamo le espressioni per le energie. L’energia totale del punto materiale in un potenziale è
mentre quella gravitazionale
Notate che ho distinto tra massa inerziale e massa gravitazionale. Ora l’equazione di Newton fornisce
I due scenari sono equivalenti SSE massa inerziale e massa gravitazionale coincidono (a meno di una costante di proporzionalità universale g). Quindi la visualizzazione di un potenziale qualsiasi come di una collina altro non è che il principio di equivalenza di Einstein, che permette di confondere un’accelerazione con l’effetto gravitazionale di un potenziale uniforme. D’altra parte, l’equazione di Newton
non è una legge, ma una definizione. Guardatela bene. Sappiamo cos’è un’accelerazione, perché la misuriamo in termini di spazio e tempo (e, se vogliamo spingerci all’estremo, il tempo lo misuriamo in termini di posizioni relative di sistemi fisici). Ma possiamo sapere cos’è una forza se non l’effetto che procura su un oggetto? Si, possiamo! Basta confrontare le forze meccaniche che esercitiamo con una forza data, universale: la forza peso. Capite dove voglio arrivare: la definizione di Newton stabilisce che massa inerziale e gravitazionale si equivalgono, mentre la legge di Newton stabilisce la linearità tra forza peso e accelerazione. Portata alle sue estreme conseguenze, l’equazione di Newton già contiene il principio di equivalenza einsteniano. Mancava solo un po’ di geometria.
Non sono molto d’accordo sul finale.
Newton, tra l’altro, scrisse non solo F=ma, ma anche la legge di gravitazione. Quindi, a rigore, aveva ben presente la distinzione concettuale fra massa gravitazionale e inerziale e contemporaneamente anche la loro (inspiegabile) equivalenza.
F=ma non è una definizione, è una legge. Hai mai letto il Mach de “La meccanica nel suo sviluppo storico-critico”?
Il contenuto “non circolare” (e dunque di “legge” e non banalmente di “definizione”) di F=ma è che in natura i corpi si scambiano accelerazioni. Sotto determinate e ripetibili condizioni (che cerchiamo di descrivere col termine “forza”) corpi diversi subiscono accelerazioni diverse. Ma due determinati corpi, sotto condizioni diverse, subiscono accelerazioni proporzionali l’uno all’altro. Possiamo allora assegnare a ciascuno di questi una quantità che ci permette di separare, nell’accelerazione subita dal corpo, la componente ambientale (forza) da quella specifica del corpo stesso (massa). C’è un contenuto empirico specifico nella legge F=ma, nonostante ci sia dell’arbitrarietà nella definizione specifica di massa e di forza.
Quanto, poi, al principio di equivalenza, esso esprime la peculiarità della gravitazione, che rappresenta una forza (l’F in F=ma) “speciale”, “naturale”, perchè agisce ugualmente su tutti i corpi (cioè è l’unica che produce le medesime accelerazioni per qualsiasi corpo).
Comment by hronir — October 8, 2009 @ 3:43 am
Non ho detto che la legge di Newton sia circolare…
Dici:
Ma due determinati corpi, sotto condizioni diverse, subiscono accelerazioni proporzionali l’uno all’altro.
Vedi che anche tu definisci la forza tramite il suo effetto, l’accelerazione. Però hai ragione su un punto: a parità di condizioni esterne la legge di Newton stabilisce I) una linearità tra “causa” (condizioni esterne) ed effetto. Inoltre stabilisce II) che la direzione del moto è quella di una qualche rottura di simmetria spaziale determinata dall’apparato sperimentale.
Concentriamoci però sulle intensità: F = ma sarebbe una legge se l’intensità di F fosse nota a priori, dacché m è definita come costante di proporzionalità (e non c’è altro modo di definire una massa, o una densità, che non sia tramite una forza!). L’unico modo per definire indipendentemente F è di avere a disposizione una legge gravitazionale. Allora la legge di Newton stabilisce l’equivalenza di massa gravitazionale e massa inerziale, ed I) e II) discendono dalle proprietà della legge di gravitazione. E’ proprio perché ho in mente Mach e Einstein che scrivo queste cose: in RG la legge di Newton (= l’equazione delle geodetiche) è una tautologia che discende dal principio di relatività e dall’equivalenza m_g = m_i. Quello che affermo io è che la stessa cosa è già implicita in meccanica classica se uno considera che non esiste altra definizione di F che non sia il confronto con una forza gravitazionale.
Un esempio. Considera l’effetto di un campo elettrico su una carica. Come faccio a stabilire l’equazione di Lorentz? Se vai a vedere i testi di elettrodinamica, vedrai che una carica di prova viene immersa nel campo elettrico e se ne studia l’accelerazione, tramite l’equazione di Newton. Ossia, l’equazione di Newton DEFINISCE la forza di Lorentz. Non troverai una definizione intrinseca della forza di Lorentz.
Comment by Administrator — October 14, 2009 @ 7:32 am
Vediamo se riesco a convincerti.
Siamo in un mondo senza gravità eppurtuttavia Isacco Newton sospetta che il mondo funzioni proprio come dice la sua F=ma. Ma come rispondere a ToMaTe senza tirare in ballo la sua forza misteriosa “senza massa” detta “gravitazione”?
ToMaTe sembra aver ragione: immaginiamo, infatti, di essere riusciti a rappresentarci una situazione fisica con una particolare espressione F della forza e un valore m per la massa del corpo. Cosa succede se assumiamo che il corpo abbia una massa pari a 2m e che l’espressione della forza sia 2F? Evidentemente le equazioni del moto sono sempre le stesse e quindi la legge oraria che se ne deduce corrisponde anch’essa al moto effettivamente osservato. In altre parole, la semplice osservazione del moto non fissa univocamente la scelta dei valori della forza e della massa.
Il contenuto non circolare in F=ma, dunque, sembra riguardare la nostra convinzione (maturata in base all’esperienza) secondo cui, data una legge oraria, la sua derivata seconda esprime una proprietà dello spazio, dell’ambiente, tale che, se un altro corpo si trova nella stessa situazione, potrà muoversi con una legge oraria solo parzialmente diversa, e precisamente con una legge oraria la cui derivata seconda è uguale, a meno di un fattore moltiplicativo detto massa, a quella dell’altro corpo.
Questa “derivata seconda comune a meno di un fattore moltiplicativo” la chiamiamo “forza” e la interpretiamo come un’azione dell’ambiente sul corpo.
Ma sono davvero così arbitrarie, le espressioni della forza e della massa?
Si trova, in realtà, che parte dell’arbitrarietà viene persa se si assume che la massa sia una caratteristica intrinseca al corpo e non cambi al cambiare delle situazioni. Da questa assunzione, quindi, è possibile definire operativamente una prima procedura di misura della forza.
Si immagini, infatti, di fissare la massa di un corpo come massa di riferimento, e di porla uguale a uno (si faccia attenzione al fatto importantissimo che questa assunzione non corrisponde, per quanto detto finora, all’aver stabilito un’unità di misura di una grandezza fisica “massa”: non sappiamo ancora, infatti, come confrontare, rapportare, la massa di un corpo con quella del corpo campione per poterne dare una “misura”). Possiamo allora “misurare” le forze di natura misurando l’accelerazione subita da questo corpo nelle varie circostanze. A questo punto è possibile sottoporre un altro corpo (di massa ignota) alle stesse “forze” e inferirne il valore della massa eseguendo il rapporto tra la forza (il cui valore è stato ottenuto attraverso misure col corpo campione) e l’accelerazione subita dal corpo di massa da determinare. In questo modo, quindi, si è ridotta l’arbitrarietà dei valori della forza e della massa alla scelta di un corpo campione da assumere di massa unitaria. Il fatto che questo modo di procedere sia possibile è un fatto non banale che conferisce validità, oltre che allo schema concettuale rappresentato dall’equazione differenziale F=ma, anche all’ipotesi che il coefficiente di proporzionalità m possa essere considerato una grandezza associata a ciascun corpo in modo intrinseco.
E in tutto questo non abbiamo mai parlato di forze “speciali” che agiscono sui corpi generando accelerazioni indipendenti dalla massa.
Comment by hronir — October 15, 2009 @ 10:36 pm
A me sembra che tu stia proprio definendo sia la massa relativa che la forza relativa tramite l’equazione di Newton. Ma devo pensarci un po’ su; cercherò di esemplificare meglio. C’è una cosa che non sto prendendo in considerazione e su cui mi devo concentrare: il principio di sovrapposizione.
Comment by Administrator — October 18, 2009 @ 5:37 pm