Rileggendo una vecchia chat su gmail mi sono perso tra le domande fatte e le risposte ricevute, che arrivano sfasate l’una rispetto all’altra creando spesso effetti comici, e qualche fraintendimento. Spesso entro una stessa chat tendono a fluire più discorsi, sovrapposti, ognuno con un suo svolgimento; a volte si fondono, si esauriscono, si inciampano (alta velocità di digitazione essenziale per questo fenomeno). Ah, la non-simultaneità degli eventi fisici dovuta alla velocità finita della luce nei mezzi materiali e nel vuoto (relatività ristretta): lo stesso motivo per cui osserviamo luce delle stelle risalente a milioni di anni fa. Potete immaginare una chat parecchio confusa con gli alieni su Andromeda, se cosiderate che tra un messaggio e l’altro il genere umano si evolve… o forse no…

Mi piacerebbe leggere il compitino di un grande scrittore, un esercizio di scrittura creativa recintato entro confini strettissimi (perché avere recinti è fondamentale per lo sviluppo di capolavori, consente alla mente umana di svilupparsi in maniera combinatoria fino a cogliere l’infinito con mezzi finiti). Il tema è il seguente: chat di gmail perfettamente razionale, se vissuta dal vivo, ma che diventa iperbolicamente comica, tragica, demenziale, irrazionale, insulsa, se letta esptemporaneamente.

Qualcuno vuole buttarsi?

Ecco i (pochi) eventi a cavallo tra fisica-matematica e letteratura di festivaletteratura 2009. Prosegue la lenta e subdola intrusione nel programma del festival fino alla completa trasformazione della kermesse in un festival scientifico, nel 2150, anno in cui si insedierà un parlamento al 90% composto da scienziati e in cui gli studenti dovranno prendere ripetizioni di storia dell’arte perché troppo appassionati ai numeri primi.

Julian Barbour
TUTTO IN UN PUNTO

Se una notte d’inverno tutte le distanze dell’Universo raddoppiassero, chi se ne accorgerebbe? E se il movimento fosse un moto di forme e non di corpi? Il tempo è davvero necessario per misurare i cambiamenti o è solo l’astrazione e la sintesi delle relazioni tra gli oggetti? Se Calvino avesse sentito parlare Julian Barbour, fisico e ricercatore off rispetto ai circuiti accademici, avrebbe preso febbrilmente appunti per le sue Cosmicomiche. Gli studi di Barbour perseguono infatti la rivoluzione concettuale innescata dalle teorie di Einstein e ancora non completamente conchiusa. Una rivoluzione dimezzata. Presenta l’autore di La fine del tempo. La rivoluzione fisica prossima ventura il blogger tomate.

Tito Arecchi e Bruno Giorgini e il pubblico
LA MENTE COMPLESSA, COMPLESSA È LA MENTE

Da quando spalancare gli occhi sull’abisso signifi ca permettere all’abisso di scrutarci dentro, il mestiere di fisico teorico è diventato pericoloso. Ma nella cassetta degli attrezzi del perfetto scienziato stanno ben riposte creatività e coerenza che, con una certa dose di riduzionismo, attaccano ogni profondità, anche gli spazi infi niti della mente. Galileo scrisse che chi si occupa di scienza deve non tentare le essenze ma contentarsi delle affezioni quantitative. Complessità, creatività, libertà nelle parole di due fisici per professione e scrittori per passione. 

Roberto Natalini e Leonardo Colombati
VERSO L’INFINITO E OLTRE

Una passeggiata non troppo aleatoria tra scienza e letteratura. Ad un anno esatto dalla scomparsa di David Foster Wallace, il ricordo migliore che si può tentare ha la forma di un triangolo di Sierpinski, un frattale che nasce dalla cancellazione selettiva, infinitamente uguale a se stesso in ogni dettaglio, eppure simbolo di stasi caotica. Usando come base la matematica e come altezza la letteratura, nell’area d’applicazione creativa del linguaggio chiediamo a Leonardo Colombati, autore del romanzo eroicomico Perceber, e a Roberto Natalini, matematico, se esiste un romanzo scientifico e se la matematica può o deve ricorrere al bagaglio metaforico della letteratura. 

Mirko Degli Esposti e Chiara Valerio
SE LO STILE NON È UN’OPINIONE

Il già enigmatico concetto di entropia, volgarmente detta “misura del disordine”, ha conquistato nel XX secolo il significato inatteso e quasi sciamanico di “informazione”. Informazione che fl uisce negli spazi fisico-matematici, ma anche in rete e sulle pagine dei giornali e dei libri. D’altronde le parole permettono di elaborare metaforicamente anche l’astratto matematico. Sono solo analogie o la matematica può pronunciarsi perfi no sulla scrittura? E quando una trovata narrativa è un’idea matematica e viceversa? Mirko Degli Esposti, probabilista e statistico, ne parla con Chiara Valerio, scrittrice di formazione matematica.

[Ho fatto quel che non dovevo fare: cancellare un post appena pubblicato. Prometto che sarà risputato fuori quanto prima.]

Visto che c’è aria di filosofia. L’altra mattina ho ascoltato alla radio una lectio magistralis di Cacciari (radio tre, qua l’mp3). Cacciari è detestabile, ma come pensatore non ha rivali. Sposo la tesi di Travaglio, secondo cui in Italia non ci sono intellettuali. Se ce n’è uno, quello è Cacciari. All’inizio della lezione parla della tentazione dell’uomo europeo di ridurre tutto il mondo in una carta. Mi chiedo subito cosa voglia dire per carta: un’epopea comune, un trattato, una convenzione. Il tema si sviluppa in interessanti direzioni. Ma soprattutto ho sussultato ed esultato verso gli ultimi minuti, quando parla di scienza e dice:

[…] volontà dell’Occidente di ridurre il mondo a sistema, volontà scientificamente contraddittoria. E qui bisogna che torniamo torniamo al grande Emanuele [sic! parla come un sussidiario degli anni ‘30] Kant. Che c’ha spiegato una volta per tutte che se io faccio un sistema scientifico, quel sistema per essere scientifico deve essere isolato, non ci può essere un sistema scientifico del tutto, del mondo. Se io devo dire qualcosa di scientificamente corretto devo limitarmi ad ambiti specifici. Non c’è La legge della natura, ci sono tante leggi. Gli scienziati cercano disperatamente la legge che unifica tutto, e la cercheranno da qui all’eternità. E questo è il loro eroismo […]. Mai il mondo sarà riducibile ad un sistema, ad un’immagine, ad una carta.

Come ogni buon discorso, la sua conversazione si chiude ciclicamente. Con quella "carta" che ai nostri orecchi (e solo ai nostri) assume un significato familiare: la "carta" potrebbe essere una pezza coordinata nell’atlante di una superficie curva. Ad esempio il globo terracqueo. Per i profani: come ben saprete per noi piccole formichine la Terra è un piano, finché ci limitiamo a piccoli spostamenti. Ma globalmente è la superficie di una sfera. Siamo capaci di disegnare carte geografiche accurate di porzioni grandi della superficie terrestre (trivializzazione locale), ma è difficile metterla tutta su un piano: dobbiamo ricorrere a taglia e cuci cartografici e convenzioni che deformano gli oggetti mostruosamente. Per esempio ci sono quelle "simplettiche" (ad es. Mollweide), che preservano le aree e ridimensionano l’etnocentrismo occidentale; oppure quelle "conformi" che preservano gli angoli e quindi vanno bene per chi deve rivolgersi verso la Mecca cinque volte al giorno. Ma per fare un buon lavoro è meglio ricorrere a tante carte, ognuna delle quali copre un intorno limitato.

La teoria fisica che impiega appieno la potenza del concetto di atlante coordinato è la Relatività Generale. Ora mi viene in mente quel tormentone relatività = relativismo che imperversa nelle tesine di maturità di centinaia di studenti superiori. Improbabili connessioni: Les Damoiselle d’Avignon di Picasso, la Sacre du Printemps di Stravinsky, Nietzsche (prospettivismo) e Einstein. Mai vista un’accozzaglia più sgangherata, sotto l’egida del motto: l’interpretazione della realtà dipende dal punto di vista. E invece no, nu’ cazzo! Cioè, non voglio dire che la realtà non dipenda dal punto di vista, queste sono convinzioni vostre. Ma contesto che la Relatività faccia questo, semmai il contrario!

La Relatività Generale è la teoria più assolutistica che conosca, dato che afferma precisamente che la realtà è indipendente dal punto di vista, dalla particolare scelta di sistema di riferimento, di parametrizzazione temporale etc. Ed è la madre di tutte le cosmologie. Addio relativismo. Se vogliamo proprio forzare un’interpretazione filosofica, la Relatività dice casomai che non puoi analizzare realtà diverse con paradigmi uguali, sperando di ottenere una descrizione completa e non-contraddittoria (ah, qui si sente il solito Goedel; scusate, non l’ho fatto apposta). Questo è un principio che pare ovvio ma non è. Quante volte siamo tentati di pensare "tutto è amore", "tutto è odio", "tutto è potere", "tutto è denaro", "l’uomo è egoista", "l’uomo è altruista". L’hanno fatto quasi tutti i filosofi. Beh relatività vuol dire prendere atto che ognuno di questi paradigmi può descrivere un fenomeno, ma non tutti gli altri.

E ora finalmente i reali. Ribadisco che queste note sono la stesura di pensieri di alcuni mesi fa, la premessa di discussioni già iniziate che mi hanno portato a scoprire che la risposta ai miei dubbi si trova alle voci Paradosso di Skolem, Teorema di Lowenhein-Skolem, e in frasi tipo (da wikipedia)

Thus the first-order theory of real numbers and sets of real numbers has many models, some of which are countable. The second-order theory of the real numbers has only one model, however.

Vale la pena comunque ripercorrere il filo dei miei ragionamenti. Nel frattempo mi sono reso conto che era vana la speranza di portarmi dietro qualche illetterato (matematicamente parlando), non ho fatto il lavoro che avrei voluto per rendere questo discorso terra-a-terra, per cui mi arrendo e vado un po’ più spedito.

Finita informazione

Nella scorsa puntata ho chiarito (od oscurato?) in che senso ogni numero razionale contiene finita informazione: essi sono esprimibili come stringhe finite, decodificabili secondo assiomi anch’essi scritti con finita informazione. Variando gli assiomi interpretativi possiamo generare altri insiemi numerici: per esempio i numeri algebrici, tutti i numeri che si possono scrivere a partire dagli interi sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo, potenziando e prendendo radici. Ma posso anche generare il numero trascendente (irrazionale non algebrico) pi greco con la sola frase "circonferenza del cerchio di diametro unitario". Con finita informazione sale a bordo anche il numero di Nepero

e = 1 + [1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8…]

ove le parentesi quadre indicano frazione continua, ed anche il numero di Chaitin

probabilità che una sequenza casuale di stringhe si fermi quando messa come input in una macchia di Turing. Questo numero è ben definito, ma non è computabile. Per il teorema di Lindemann-Weierstrass sono trascendenti anche il logaritmo di ogni numero razionale diverso da 1 e le funzioni trigonometriche di numeri algebrici:

log q,                    q razionale

sin a, cos a, …       a algebrico

e molti altri. Insomma vi sono parecchi insiemi numerabili di numeri i cui membri sono rappresentabili con finita informazione. Più avanti mi chiederò quanti "parecchi".

Gli assiomi dei reali

Va da se che la maggior parte dei numeri reali, comunemente intesi come stringhe di infinite cifre aperiodiche, sembrerebbero sfuggire ad una caratterizzazione di finita informazione. Queste stringhe sono intuitivamente in relazione biunivoca con l’insieme potenza dell’insieme dei numeri naturali, e pertanto sono ovviamente una quantità più che numerabile, della cardinalità del continuo.

Questa caratterizzazione dei numeri reali è ovviamente insoddisfacente. Non è accettabile postulare che le definizioni siano "infinite", e pertanto gli assiomi di Dedekind cercano di abbracciare l’enormità dei reali con assiomi più ragionevoli che contengono solo finita informazione (quanta le lettere alfabetiche che li compongono + un vocabolario della lingua + alcune definizioni preliminari), a partire da quelli che caratterizzano i razionali (ordinatezza, etc.) e aggiungendo l’assioma di Dedekind, o del continuo. In pratica questo assioma asserisce che ogni numero che produce una partizione della retta reale in due segmenti, uno a "destra" e uno a "sinistra", deve essere esso stesso un numero reale.

Meglio detto con un esempio. Consideriamo pi greco, il numero più antico della storia dell’intelligenza umana. Divide la retta in due sottinsiemi, quello a sinistra di tutti i numeri reali inferiori a pi greco, e quello a destra dei numeri maggiori. Ma allora anche pi greco è un numero reale. La stessa cosa non succede con i razionali: pi greco divide i razionali in tutti i razionali che lo approssimano dal basso, di cui fa parte per esempio la successione

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159 …

e a destra tutti quelli che lo approssimano dall’alto, tra gli altri

4, 3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160 …

Questi sono tutti razionali, ma il limite delle due successioni non lo è.

Sembra una tautologia? Quando ho colto cosa voleva dire questo assioma in soldoni, mi urtava il fatto che la validità dell’assioma dipendesse da come si definisce un numero reale. Secondo Dedekind sembra che i numeri in qualche misura ci siano già, prima, tutti definiti, e che si tratti soltanto di assegnarli ai vari insiemi numerici. Allora in questo senso si dice che l’assioma di Dedekind è "topologico", nel senso che richiede che R sia completo: ogni successione convergente (limitata) in R converge ad un elemento di R, e si posa questa struttura dei numeri reali su un sottofondo dato di numeri che esistono a priori, che sono i numeri dell’esperienza, come pi greco, la radice di due, etc. Il problema è: come sono definiti questi numeri? Chi sono?

In verità l’assioma di Dedekind non dice altro che questo:

E’ reale ogni numero definibile

ove per numero si intende una parte intera ed una successione di cifre decimali dopo la virgola (non stiamo qui a preoccuparci dei numeri immaginari e oltre). Definito un numero posso sicuramente costruire una successione che vi converga, ed una qualsiasi successione convergente ad un numero definisce quel numero, purché essa stessa sia definita. Definibile in un qualche linguaggio. Quale?

Se esiste una successione di cifre decimali non definibile (non sto parlando di computabilità, ma di definibilità) posso tranquillamente estrometterla dai numeri reali a cuor leggero. Nessuno potrà mostrarmi una successione di R convergente a quel numero, altrimenti lo avrebbe definito e sarebbe dentro anche lui. Ma adesso la domanda diventa: quanti sono questi numeri non definibili, e quanti sono i numeri definibili? Possiamo costruire un modello dei reali numerabile, che includa tutti i tagli di Dedekind che è possibile definire con finita informazione, in maniera tale che nessuno possa venire a dirmi "guarda che questo spazio non è completo, perché manca il limite di questa successione", perché non potrà mai mostrarmi una tale successione.

Una precisazione: è ovvio che i "reali" comunemente intesi come stringhe infinite soddisfano agli assiomi di Dedekind, e pertanto sono un modello dei reali. Ci mancherebbe altro. Ma non è detto che siano l’unico, e non è detto che non esista un modello dei reali numerabile.

La possibilità di costruire modelli diversi dei reali dipende dal linguaggio che stiamo impiegando per definirli. Nell’ultimo paragrafo vado a tentoni cercando di chiarirmi le idee su quali e quanti reali siano definibili e formulando domande, si spera, più pertinenti. Nel frattempo devo prima attaccare il teorema che sembrerebbe impedire l’esistenza di modelli numerabili dei reali.

L’argomento di Cantor

Dell’argomento di Cantor ho già argomentato qua, e già avevo cominciato ad esprimere i primi dubbi sulla sua validità. Ora posso chiarire (ma non motivare! Ribadisco che questa è fanta-matematica con le bollicine). In breve: Cantor dice che se (un modello de) i reali fosse numerabile, potremmo enumerarlo (vedete dove volevo arrivare!) mettendoli in fila uno dietro l’altro, magari usando una bella macchina di Turing che esegue il lavoro per noi. Poi grazie al beneamato assioma della scelta pigliamo una cifra da ognuno, con cui formiamo un nuovo numero di infinite cifre decimali e mostriamo che questo numero non può stare nella lista.

Dove sta l’errore? Due opzioni, che in verità dicono la stessa cosa:

1) Un insieme può essere numerabile, ma per quanto detto in precedenza non è detto che sia enumerabile. Cantor ha mostrato semplicemente che il numero diagonale di Cantor non è enumerabile nella stessa enumerazione degli elementi del modello. Magari in un’altra enumerazione si, ma non sarà più lui il numero diagonale di Cantor!

2) Supponiamo che il nostro modello numerabile sia costituito di numeri reali definiti con finita informazione. Allora l’argomento di Cantor ci dice semplicemente che il numero diagonale di Cantor non fa parte di quell’insieme, ossia non è definito con finita informazione. Nessuno potrà darmene una definizione che non richieda necessariamente di specificarne tutte le infinite cifre decimali, oppure equivalentemente nessuno potrà dare un ordinamento dei numeri del modello semplice ed elegante che con una formuletta mi consenta di conoscere il numero di Cantor.

Fuoripista: la dimostrazione tramite Baire

Credo che analoghe considerazioni si possano fare nel caso della dimostrazione tramite teorema di Baire fornita da Stefano qui, dimostrazione peraltro elegante. Non ho la pazienza di analizzarla nel dettaglio; ho l’impressione però che nasconda sotto il tappeto le stesse problematiche che ho evidenziato sopra. Soprattutto, non credo che ci si debba appellare a teoremi avanzati di topologia per chiarire una questione fondazionale. Se questa dimostrazione dovesse essere pienamente soddisfacente, dovrebbe esserci anche una soluzione pienamente soddisfacente a livello dell’argomento di Cantor.

Che fare?

Data tutta questa premessa, sono tante le domande che ci si può porre. Le metto in ordine sparso. Premessa: per linguaggio logico intendo un sistema semantico convenzionale per esprimere definizioni, proprietà etc. Può essere logica del primo o del second’ordine, ma non è escluso che si possano prendere in cosiderazione altri sistemi formali.

1) Successioni numerabili? Prendiamo un insieme numerabile e consideriamo tutte le successioni. Queste sono un infinità non-numerabile. Quante sono quelle convergenti ad elementi estranei all’insieme di partenza? Se sono numerabili, allora i tagli di Dedekind sono numerabili e il completamento dell’insieme di partenza è sempre numerabile. A questo punto bisogna considerare i nuovi tagli di dedekind che si generano con le successioni convergenti nel completamento, che sono numerabili*numerabili = numerabili. Poi ancora e ancora. Alla fine è possibil che si arrivi ad un 2^numerabili tagli di Dedekind indipendenti da aggiungere?

2) Ogni numero reale è definibile? Dato un numero reale qualsiasi (di infinite cifre aperiodiche), esiste sempre un linguaggio logico, un sistema di assiomi interpretativi ed una stringa finita che permetta di generarlo, preso singolarmente? Per esempio, se considero l’immagine del logaritmo per ogni razionale, ottengo numeri irrazionali. Se considero ogni possibile funzione definita con finita informazione, ed in una logica del secondo ordine le faccio correre su tutti i razionali, quanti numeri reali ottengo? Tutti? Oppure ci sarà sempre quel maledetto numero a cui non puoi arrivare neanche così?

3) Non numerabile ma neanche non-non-numerabile. Possibile che la questione di quanti siano VERAMENTE i numeri reali sia indecidibile?

Queste sono solo alcune delle domande che mi turbano, e spero che mi turbino ancora per poco. Forse Skolem mi libererà per sempre da questa confusione mentale.

Numerabilità e numerabilità

Prima di procedere coi razionali, un distillato della puntata precedente (lussu, ci sei ancora? dove ti abbiamo perso?).

Ho provato a distinguere tra numerabilità di un insieme ed enumerabilità, un concetto che ho solo implicitamente definito, e per fortuna essendo io un fisico e questo un blog non ho nè la volontà nè l’urgenza di definire in maniera più rigorosa. In pratica per enumerare intendo costruire un algoritmo che mette in fila gli elementi dell’insieme, e la discussione dell’altro giorno dovrebbe avervi convinto che dato un qualsiasi linguaggio di programmazione, posso costruire un insieme numerabile che non è enumerabile da nessun programma scritto in quel linguaggio di programmazione. D’altra parte io stesso ho enumerato i numeri busy beaver

BB(1), BB(2), BB(3) …

per cui è chiaro che esiste un altro linguaggio di programmazione, più potente, in grado di svolgere questo compito, ma allora esisterà un insieme non enumerabile da qualsiasi programma in quest’altro linguaggio di programmazione etc. etc. Insomma il solito tram-tram quotidiano quando si tratta di delicate questioni di incompletezza: dato un sistema di assiomi di finita informazione, esistono proposizioni vere non dimostrabili in tale sistema perché la forza espressiva di tale linguaggio è limitata. Concetto concisamente espresso da un vero matematico nei commenti allo scorso post:

I possibili output di macchine di Turing sono numerabili; infatti esistono una quantità numerabile di macchine di Turing. Invece, l’insieme potenza dei numeri naturali è più che numerabile. È quindi ovvio che esistono insiemi di naturali che non sono computabili.

Il cortocircuito si crea perché, cosa piuttosto notevole, con la nostra intelligenza, che ci permette di fare salti tra diversi piani logici, possiamo costruire in quel linguaggio di programmazione fatti metalogici. Per esempio siccome sia le istruzioni che l’input/output di una macchina di Turing sono stringhe di bits, possiamo dare in pasto una macchina di Turing ad una macchina di Turing, o analogalmente possiamo assegnare un numero ad una proposizione che parla di una teoria dei numeri.

In soldoni, numerabilità non equivale ad enumerabilità. Il primo concetto dice che esiste una biiezione, il secondo che tale biiezione è esprimibile in un certo linguaggio. Il Princeton Companion to Mathematics dice che

An infinite set is called countable if it has the same size as the natural numbers […] This is exactly the same as saying that we can list the elements of the set.

E’ giusta, ma avrei da obiettare su quell’exactly.

E’ finita l’informazione

Sui razionali possiamo procedere allegramente, servono solo per parlare di informazione. Tutti sanno (??) che i razionali, numeri esprimibili come frazioni di numeri interi, sono quanti i numeri interi e quindi quanti i naturali. Non è difficile metterli in fila tutti, trovando una strategia per muoversi nel piano numeratore-denominatore. Per esempio la strategia di Cantor, visualizzabile qui. Parentesi: sebbene gli interi sembrino il doppio dei naturali, e i razionali sembrino quanto gli interi al quadrato (tutte le scelte possibili di denominatore per tutte le scelte possibili di numeratore), eppure l’infinito è sempre lo stesso (detto aleph_0):

Questo fatto si riassume molto ecologicamente considerando questo argomento. Sia i numeri naturali, che interi, che razionali sono esprimibili con una quantità finita di informazione, con un numero finito di cifre. Per esempio, un razionale può essere espresso con le cifre di denominatore/numeratore, oppure con il suo sviluppo decimale, che come ben sappiamo è periodico: basta specificare quali e quante sono le cifre del periodo e lo abbiamo determinato univocamente. Se ci mettiamo in base due, tutti questi numeri si possono esprimere come stringhe finite di bits:

11010010 . 1100101001 0110 0110 0110 0110 …

ove abbiamo diviso la parte intera (a sinistra della virgola), un primo pezzo di sviluppo decimale dopo la virgola e la parte periodica. I razionali sono quindi stringhe di un numero finito di bits, scelti in maniera aleatoria: ognuno dei bits può assumere il valore che vuole*.

Oltre i razionali

L’informazione di un messaggio dipende da come decido di decodificarla, per cui in ogni messaggio esiste infinita e nulla informazione. Il fatto che io abbia deciso che stringhe finite di bits siano numeri razionali dipende dal fatto che, dato un linguaggio meta-logico, interpreto quella sequenza in un certo modo (sviluppi decimali, frazioni). Avrei potuto sceglierne un altro ed ottenere altri numeri. Per esempio, la sezione aurea, un numero magico che gode della proprietà

Se sostituite al denominatore della frazione nuovamente la definizione, potete scrivere la sezione aurea come frazione continua:

Una frazione continua è un qualsiasi numero esprimibile come

ove abbiamo anche indicato una delle tante possibili notazioni per frazione continua, che mette in luce il fatto che questi numeri si possono scrivere tutti come stringhe. In particolare, la sezione aurea è data dalla stringa periodica [1;1,1,1,1…]. La sezione aurea non è un numero razionale; lo si può infatti esprimere in termini della radice di 5

e si può mostrare che la radice di 5 non è un numero razionale. Più precisamente, la sezione aurea è un numero irrazionale quadratico, soluzione di un’equazione quadratica

con a,b,c coefficienti razionali (o interi).  Si può mostrare (Eulero-Lagrange) che ogni frazione continua periodica è un numero irrazionale quadratico, e viceversa. Ma una frazione continua periodica è rappresentabile come una stringa con una parte decimale aperiodica ed un periodo, e pertanto la stessa stringa può rappresentare un numero razionale o un numero irrazionale quadratico, a seconda della decodificazione della stringa, ossia del linguaggio che stiamo usando.

Siamo quindi ai numeri algebrici generici, radici (soluzioni) di equazioni algebriche del tipo:

ossia tutti i numeri che si possono scrivere in termini di radici di numeri razionali. Anche questi si possono scrivere con finita informazione, per esempio specificando tutti i coefficienti a_0 … a_n, ognuno dei quali è razionale e quindi di finita informazione.

La carreggiata

Tutto questo discorso per dire una cosa. Una stringa finita di bits (con punteggiatura, vedi sotto) ha un certo significato a seconda del linguaggio che la decodifica, il quale a sua volta è anche scritto in una stringa finita di bits (per esempio i 10 000 caratteri del post di oggi). Con finita informazione ed un opportuno linguaggio che la interpreta, logico o meta-logico, posso andare molto lontano. Le domande che ora mi pongo, e a cui non darò risposta, sono:

- gli assiomi dei numeri reali, che contengono finita informazione, comprendono tutti i reali comunemente intesi come stringhe infinite di bit aleatori?

- se no, posso costruire un modello dei reali con soli numeri computabili (piano logico) o definibili in qualche linguaggio (piano meta-logico?)? Quanto sarebbe grande, un simile modello?

* Qui mi sarebbe piaciuto parlare di enumerazione dei razionali, ma mi sono inceppato perché l’argomento è molto più complesso di quello che pensavo a prima vista. Ed in ogni caso è del tutto inessenziale. Il sunto è questo. Posso costruire una macchina di Turing che enumera i naturali, ovverosia una macchina di Turing che dato un naturale permette di determinare univocamente il suo rappresentativo rispetto ad una biiezionee, e questo mi pare abbastanza banale. E’ semplicemente la macchina che restituisce l’input. Possiamo costruire una macchina di Turing che permette di determinare un rappresentativo intero di ogni razionale? La cosa è delicata. Sul piano di Cantor, non c’è problema. Ma il linguaggio che stiamo usando richiede l’utilizzo di simboli non conosciuti da una macchina di Turing, per esempio la linea rapporto

o, se scriviamo un razionale in cifre decimali, la barra periodica

Stiamo comunque sempre usando un linguaggio non decodificabile da una macchina di Turing. Questo è il nostro imprinting meta-logico: NOI sappiamo farlo. Ma possiamo farne a meno?

Mettiamoci quindi in testa che vogliamo trovare un algoritmo per enumerare i razionali. Consideriamo di lavorare solo sulla notazione decimale. Per comodità supponiamo di muoverci solo verso destra (anche se una macchina di Turing potrebbe continuare a muoversi da destra a sinistra, ma a lungo andare si romperebbe…). Potremmo alternare nello sviluppo decimale una cifra dello sviluppo ed una della parte intera, per esempio. Concentriamoci quindi sui razionali che cominciano per "0.".

Per enumerare tutti i razionali senza sviluppo periodico o con sviluppo periodico che comincia immediatamente dopo la virgola, possiamo usare la notazione

0 . [0] 11001001 = def = 0 . 11001001

0 . [1[ 0110       = def = 0. 0110 0110 0110…

La prima cifra decimale in verità è un’istruzione per decidere se lo sviluppo successivo è finito (nel caso 0) o periodico (nel caso 1). OK, adesso vogliamo fare un programma per enumerare anche quelli con sviluppo periodico che inizia dopo un certo numero di cifre significative aperiodiche dopo la virgola. Come faccio?

0 . [101] (11) 11001 110

  =  11001 110 110 110 … 

Da qualche parte nella stringa devo infilare un’istruzione che mi dica quante cifre aperiodiche (tra parentesi quadre) e quante cifre periodiche (tra parentesi tonde) devo mettere dopo la virgola. Il problema è che non posso sapere quante cifre avranno questi due numeri di controllo, per cui dovrei inserire altri numeri di controllo che mi dicano quante cifre avranno i numeri di controllo successivi

0 . 11101011111001110

    -> 0 . [[11]] ((10))  [101] (11) 11001 110

    = 0. 11001 110 110 110 …

Il numero di cifre di un numero avrà sempre un numero di cifre inferiore a quello del numero stesso, e scendendo scendendo si arriva fino alla stringa minima, che è quella di lunghezza 2 (lunghezza 1 non va bene, è l’unica stabile).

Sembra piuttosto complicato… proviamo con una strategia diversa. Alterniamo una cifra dello sviluppo decimale aperiodico ad una cifra del periodo

0 . 10 01 10 01 01 00 10 10 10 00 10

 = ? = 0 . 1010011101 01011000000 01011000000 …

 = ? = 0 . 1010011101 01011 01011 01011 …

Anche in questo caso c’è una certa ambiguità, dovuta al fatto che dobbiamo decodificare con lo stesso linguaggio, fatto di 0 ed 1, simboli metalogici.

Come vedete ideare un algoritmo completo è così facile. In primo luogo, bisogna che le stringhe siano ben formate, cioè che il numero totale di caratteri sia consistente con l’informazione contenuta nei caratteri di controllo. Poi c’è il rischio che la stringa non abbia interpretazione univoca, oppure che non sia esaustiva. Francamente non so dire se esista un metodo corretto, o se sia possibile dimostrare con un paradosso di tipo Russel i numeri razionali sono numerabili ma non enumerabili nello stesso linguaggio in cui sono espressi. Ho smesso di pensarci sennò mi viene il malditesta. Megio lasciar stare per ora. Stay tuned.

Ho procrastinato questa serie di post troppo a lungo, e alla fine la discussione che ne doveva scaturire è già iniziata [qui] e [qui]. Manca ancora la premessa. Che tenterò di scrivere in troppe parole semplici piuttosto che tante parole difficli, per motivi di ecologia mentale. Per cui anche quei testoni che saltano a pié pari i post scientifici questa volta non hanno scusanti (lussu, ce l’ho con te). Premessa necessaria: queste sono speculazioni pre-scientifiche personali dell’autore, che si impegna a studiare meglio la questione e a porre domande veramente pertinenti (ora devo: è arrivato questo).

Enumerare i naturali

Per parlare dei reali dobbiamo prima fare un excursus sugli altri insiemi numerici. Non daremo per scontato neanche l’insieme N dei naturali. N è l’insieme dei numeri che si usano per contare:

0, 1, 2, 3 …

e ovviamente contiene infiniti elementi. Infinito quanto? Si dice un infinito numerabile, ed ogni insieme che può essere messo in relazione uno-ad-uno (biunivocamente) con l’insieme dei numeri naturali si dice un insieme numerabile, nel senso primitivo della parola enumerare. Infatti anticamente per conteggiare il numero di pecore in un gregge si metteva un sassolino (calcolo) in un sacchetto, e al ritorno dal pascolo si calcolava se le pecore erano tante quante quelle che erano uscite. Si stabiliva cioè una relazione biunivoca tra i sassi e le pecore. Dopodiché il fanatismo islamico ci ha infettato con la mania dei numeri naturali e abbiamo imparato a contare "uno-due-tre-quattro…" senza aver più bisogno dei calcoli. Questo è vero in senso pratico, ma anche formale: i numeri naturali sono assiomatizzati partendo dallo zero e costruendoli uno ad uno con la funzione "successore" (assiomi di Peano).

Questa è precisamente la nozione che ci è rimasta di enumerazione: stabilire una relazione biunivoca, ed un insieme si dice numerabile se esiste una relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali. Per esempio sono numerabili i numeri interi Z (naturali di ambo i segni). Posso infatti costruire questa relazione uno ad uno tra gli interi e i naturali:

0  ->  0  

        1  ->  2      -1  ->  1

        2  ->  4      -2  ->  3

        …             …

che manda gli interi positivi nei naturali pari e gli interi negativi in quelli dispari. Per ognuno del primo insieme ve n’è uno del secondo e viceversa, per cui l’infinità di Z è la stessa di N (anche se intuitivamente i primi sono "il doppio" dei secondi).

Perché sono così pedante? Perché non è detto che se esiste una relazione biunivoca, questa si possa effettivamente mostrare. La cosa può apparire sorprendente, sapere che una cosa c’è e non poterla vedere. Il fascino della matematica del ‘900 è che ha imparato a trattare le cose formalmente, immergendole nel loro spazio di residenza, senza sporcarsi le mani. Per cui, ad esempio, è possibile mostrare che un certo problema non ha risposta, senza bisogno di smanettare con il problema stesso. Può succedere pertanto che ci siano numeri naturali numerabili che non si possono enumerare! Chiarisco.

Il numero più grande

[più che ispirato da qui]

Chi la spara più grossa, ovverosia chi sa dire il numero più glande? Avrete sicuramente giocato a questo gioco da bambini. Regole: il numero deve essere un numero naturale, e ben definito: un matematico deve saperlo riconoscere. Non può essere "infinito", e non può essere "uno più del tuo"; e non può neanche essere "il numero di particelle nell’universo" (anche perché non conviene). Partiamo: dieci, cento, millemilioni! Chi vince? Il più furbo. Quello, per esempio, che comincia ad usare le potenze: "dieci alla cento" (anche detto googol). Più furbo di lui è quello che dice "dieci alla dieci alla cento" (googolplex). Attenzione: questo numero è già più grande di qualsiasi numero fisicamente sensato. Infatti in fisica parliamo di ordini di grandezza, potenze del dieci: tra lo yocto e lo yotta, passando per il femto, il nano, il micro, il kilo, il giga, il tera, ci sono 48 ordini di grandezza (dieci alla quarantotto). Il numero di particelle nell’universo è stimato intorno a 10^85. Quando si comincia a frequentare ordini di grandezza importanti non ha senso porsi problemi sulle singole unità. Chi compra una villa da 20 milioni di euro difficilmente sarà preoccupato per 20 euro di marca da bollo. Ma quando uno dice "dieci alla dieci alla dieci", perfino l’ordine di grandezza è negligibile. Siamo veramente molto in alto!

Più furbo ancora è quello che si inventa una nuova operazione. Come il prodotto è una notazione breve per successive somme, e la potenza è una notazione breve per prodotti ripetuti, si può definire una notazione compatta per le potenze ripetute (tetrazione, che indiciamo con #), e poi via via si possono definire operazioni computabili che sparano sempre più in alto. Un esempio di notazione compatta per queste operazioni è la notazione di Steinhaus-Moser. Altre notazioni concise per arrivare veramente in alto sono la notazione di Knuth, con la quale si può scrivere il numero di Graham g_64, fino ad un po’ di tempo fa il più alto numero naturale mai definito che fosse la risposta ad un qualche quesito matematico che non fosse "scrivere il numero più alto", cioè che comparisse in maniera naturale da qualche parte in matematica (curiosamente, è la risposta più vicina che si è riusciti a dare ad un problema la cui risposta congetturata si ritiene essere semplicemente 6).

Numeri molto grandi si ottengono quindi definendo funzioni computabili che, dato in pasto un numero, cominciano a sommarlo, moltiplicarlo, elevarlo, superelevarlo etc. etc. fino ad ottenere numeri stratosferici. Computabile significa che in teoria, disponendo di sufficiente tempo, dando in pasto ad una macchina di Turing (un computer) le istruzioni per calcolare il numero, questa prima o poi ve lo sputa fuori. Il problema casomai è che non ci sarebbe spazio per scriverlo: se l’Universo è finito, è al più fatto di quantità grandi "ordini di grandezza" di cose su cui scrivere, e già un numero con un googolplex di cifre non ci sta. Una simile funzione computabile è la funzione di Ackermann A(n), definita in questo modo:

A(1) = 1 + 1

A(2) = 2 * 2 = 2 + 2

A(3) = 3^3 = 3 * 3 * 3

A(4) = 4#4 = 4^4^4^4

A(5) = pentazione(5) = 5#5#5#5#5

…

Il numero XKCD definito da A(g_36) (funzione di Ackermann valutata sul numero di Graham) è il numero computabile più grande e conciso che possiate menzionare se volete vincere la gara. La funzione di Ackermann non è altro che la formalizzazione matematica della megalomania più sfrenata: quando immaginiamo di abbracciare il tutto e superarlo, e di superare il superamento del tutto, e ancora e ancora, quando visualizziamo una quantità e la facciamo diventare risibile per arrivare ad una nuova quantità risibile, stiamo ideando una procedura ricorsiva che tende a superare ogni grandezza concepibile, eppure lo stiamo facendo costruttivamente, computabilmente. Ci rimane sempre il dubbio che non ci sia qualcosa di ancora più grande, inafferrabilmente più grande.

Il lavoratore industrioso

Esiste qualcosa di inafferrabilmente più grande? In effetti si, esiste una funzione che cresce più velocemente di qualsiasi funzione computabile. Pensavate di aver vinto con A(g_36), ed invece c’è qualcuno di più cazzuto di voi. Ed anche più stronzetto. Perché lui sfodera una funzione che definisce in maniera implicita, ma assolutamente ben definita, numeri naturali talmente grandi da non essere computabili (casomai potete far ricorso in cassazione sulla corretta interpretazione del regolamento). Questa funzione cresce più velocemente di qualsiasi esponenziazione, tetrazione, graham-izzazione. Si chiama busy-beaver. Il concetto è questo. Un qualsiasi programma lungo M istruzioni su computer può portare a termine il suo compito dopo un certo numero di computazioni, per quanto lentamente (Linux), oppure entrare in loop e inchiodarsi (Windows). Ma non è possibile costruire un super-programma che giri sullo stesso computer e che sappia prevedere, per ogni dato programma con M istruzioni, se questo si fermerà o andrà avanti all’infinito*. Non possiamo costruire un super-programma che ci predica il destino di un qualsiasi programma. Questo è uno dei grandi risultati della matematica del ‘900 (halting problem), versione computazionale del teorema di Goedel.

Ora definiamo questa funzione: BB(M) (busy beaver) è la funzione che ci dice il massimo di computazioni che un generico programma con M istruzioni iniziali può performare, purchè prima o poi si arresti. Tra tutti i programmi di M istruzioni che si fermano, BB(M) ci dice quanto avanti va quello che si ferma più tardi. Ebbene: noi non possiamo inventare un programma che dato M ci dica BB(M), ovverosia BB(M) non è computabile, perché se potessimo computarla potremmo risolvere l’halting problem. Non sarebbe infatti difficile costruire un super-programma che per un dato programma di M istruzioni di cui vogliamo conoscere il destino calcola BB(M) e lascia correre il programma fino a che non ha performato BB(M) computazioni; se non si è ancora fermato, da definizione di BB(M) allora sapremmo che il programma continuerà all’infinito, ed avremmo risolto l’halting problem.

Confusi? OK, dimenticate il paragrafo sopra. Quello che importa è che esiste una funzione che definisce precisamente numeri naturali non computabili, ovverosia un computer non potrebbe enumerare tutti i numeri generati dalla funzione busy-beaver uno per uno. Questo non vuol dire che singoli valori siano inconoscibili, e non vuol dire neanche che i numeri naturali non siano enumerabili. I numeri busy-beaver, per definizione, per quanto grandi verranno raggiunti da un programma che conta 1,2,3…, ma questo stesso programma non saprà dirvi se il numero che sta contando è busy-beaver o no. Si giunge a questa conseguenza, sbalorditiva:

esistono insiemi numerabili non enumerabili

Per esempio l’insieme dei numeri busy-beaver, perfettamente definito con finita informazione (i 12000 caratteri di questo post sono sufficienti e ridondanti), è in relazione univoca con i naturali:

M -> BB(M)

e pertanto è al più numerabile (la biunivocità è garantita se la successione BB(M) è dimostrata crescente) eppure non è enumerabile, nel senso appena detto. Notiamo la peculiarità della definizione di questi numeri: essa si basa sulle specifiche di programmi che calcolano numeri, e quindi è una definizione meta-logica. Se per costruire la somma dobbiamo dire "prendi M e aggiungi M", per costruire BB(M) dobbiamo dire "prendi un programma di M istruzioni…". Per costruire questo esempio ben definito e astruso, abbiamo dovuto cambiare livello semantico.

Adesso voi direte: vabbeh questo non vuol dire nulla. Hai solo detto che le macchine di Turing non possono enumerare tutti gli insiemi numerabili. Ma attenzione: non ho mai veramente fatto uso del fatto che la macchina fosse di Turing; ho solo supposto che elaborasse finita informazione iniziale (N bits) a passi discreti. Per tanto il concetto è che

esistono modelli dei numeri naturali che non sono enumerabili da nessun algoritmo che contiene finita informazione

Continueremo con i numeri razionali e reali nei prossimi post, ora una divagazione.

Loosing my religion

Concludo con un tocco di religione. Al momento io credo (fideisticamente) che la congettura di Riemann sia indimostrabile. Lo credo perché i numeri primi sono il mistero ultimo della matematica, e la congettura di Riemann il distillato di questo mistero. Una sua risoluzione sarebbe un evento tristissimo, come la morte. Ma la matematica sopravviverà all’uomo. Quindi credo. La mia fede è supportata da questo indizio: i numeri primi giocano un ruolo di primo piano nella dimostrazione del teorema di incompletezza, consentendo la numerazione di Goedel delle proposizioni. Mi parrebbe assurdo che questo fosse un caso. Secondo me è un chiaro indizio della loro colpevolezza: se permettono di dimostrare l’incompletezza, allora essi stessi incarnano questa incompletezza.

Personalmete fantastico addirittura di una dimostrazione di indimostrabilità/non-refutabilità, basata sulla violazione del teorema di Goedel. Ma, c’è un grosso ma. Come rileva anche Chaitin (qui), una dimostrazione di non-refutabilità sarebbe una prova, dato che la congettura riguarda un insieme numerabile. Se dimostro che non posso trovare un caso contrario, dimostro il teorema. Nulla vieta che si possa dimostrare l’indimostrabilità, una sorta di teorema dimezzato. Ma c’è un altra opzione, e qui diventa fantastascienza sfrenata: che si possa dimostrare che non è rintracciabile un caso contrario computabile. Insomma un risultato del tipo: non possiamo sapere se l’ipotesi è vera, ma non troveremo mai un caso contrario, perché se c’è non è computabile. Non sarebbe fico?

* A proposito dell’halting problem, non so se esista un risultato che dice che ogni macchina di Turing che va avanti all’infinito entri in loop, e quindi che ogni macchina di Turing elabora numeri razionali periodici (loop) o troncati (halt), ossia numeri di informazione comunque finita, quanta è l’informazione dei bits iniziali. La cosa mi sembrerebbea molto sensata.

Mi ero intrippato recentemente con le serie infinite non convergenti, oggetti matematici solo formalmente notati con una simbologia consueta, ma la cui definizione rigorosa è ben più sofisticata. Delle operazioni originali queste serie conservano alcune proprietà che permettono di maneggiarle, con qualche cura. Per esempio sommando e togliendo un’unità infinite volte si ottiene con un po’ di manipolazione

y = + 1 - 1 + 1 - 1 + …

   = + 1 - (+ 1 - 1 + 1 - …)

   = 1 - y

Quindi y =1/2. Un risultato non rigoroso ma "rigorosizzabile".

Qualcosa di semplice

Mi chiedo quindi se oltre alle serie (somme ripetute) si possano considerare operazioni reiterate più generali. Un esempio abbastanza ovvio è il seguente (non è affatto una "serie" divergente o senza limite):

y = 1 * 1 * 1 * …

   = 1 / (1 / (1 * 1 * 1 *…))

   = 1 / (1 / (1 / (1 /… )))

   = 1 / y

Quindi y = 1. Wow! Potete andare a letto contenti ora. Proviamo qualcosa di meno ovvio. Prendiamo una potenza infinita di una qualsiasi costante (prendiamo il numero di Nepero e):

y = e * e * e * …

   = exp [ (ln e) (1 + 1 + 1 …) ]

   = rad (1/e)

ove abbiamo sfruttato una serie divergente importante, 1+1+1+… = -1/2, non ottenibile con semplici giochetti matematici. Formula che mi piace provocatoriamente riassumere con

ove \omega è il primo ordinale transfinito, definito da \omega = {0,1,1+1,1+1+1,…}. Questo esempio non si può svolgere in maniera intuitiva: non valgono infatti nel caso della serie di 1+1+1+… e la somma di Ramanujan 1+2+3+4+… le comuni regole di manipolazione (leggo su wikipedia che non sono Abel-sommabili). Infatti provando a manipolare come sopra

y = e * e * e * … = e / (1 / (e * e * e *… )) = e * y

Quindi e = 1, nonsense a meno che non si prenda proprio 1 al posto di e (il fatto che non ci sia nessun giochetto elementare per ottenere queste serie è veramente scocciante, d’altra parte Ramanujan non sarebbe stato un genio altrimenti).

Proviamo quindi qualcosa di simile a quanto visto l’altra volta

y = e / e * e / e * e / e …

   = e / ( e / e * e / e * e …)

   = e / y                                (i)

quindi y è la radice di e. Il risultato è abbastanza ovvio: se si prende il logaritmo si ottiene

ln y =1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 + … 

consistentemente con il primo esempio.

"Serie" di funzioni

Fin qui tutto tranquillo, da qua in poi invece la sparo grossa! Proviamo qualcosa di più difficile. Consideriamo

f(x) = … exp ln exp ln exp ln exp x            (ii)

Questo caso non si può trattare come sopra, perché non sappiamo distribuire la funzione inversa. Espandendo in serie il logaritmo e l’esponenziale vicino a 0, si ottiene

f(h) = … - 1 + 1 - 1 + (1 + h)

f(0) = 1/2

ove abbiamo ricordato che 1 - 1 + 1 - 1 … = 1/2. Deriviamo la (ii) rispetto ad x applicando la regola di derivazione a catena:

f’(x) = … (exp ln exp x / exp ln exp x) (exp x / exp x)

Ognuno dei dei fattori contiene una sequenza finita di funzione/funzione inversa, che supponiamo si mangino tra loro. Ricordando (i) si ottiene

f’(x) = … exp x / exp x * exp x / exp x = exp (x/2)

f(x) = 2 exp (x/2) - 3/2

Avrà un senso tutto ciò? E in quale astruso mondo matematico? Sarebbe interessante studiare serie infinite generiche del tipo

rispettivamente alternanza di funzione-funzione inversa, e successione di funzioni.

Update. Non è difficile applicare i ragionamenti sopra al primo dei due casi qua sopra. Mi risulta che f(x) è data dall’equazione differenziale

Matematici, leggete con prudenza, pena succitata.

Sono in cerca di un teorema, ma anche solo di un’indicazione, o di un’intera teoria… Conosciamo tutti il teorema di Stokes che riconduce il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie alla circuitazione del campo lungo il bordo che contiene tale superficie. Impiegando una notazione più generale, valida per generiche forme esterne:

Supponiamo ora che il rotore del campo abbia significato fisico, e chiamiamo A il "potenziale". In ottica informazionale, possiamo affermare in qualche senso che l’informazione fisica del sistema è tutta contenuta nel potenziale lungo un bordo di dimensione inferiore, una sorta di principio olografico. La fisica infatti è invariante per trasformazioni di gauge (calibro) del potenziale A:

ove

In termini matematici, A e A’ sono coomologhe. Questa simmetria incorpora un certo grado di arbitrarietà, che riduce i gradi di libertà fisici. In effetti, quanti gradi di libertà si porti via  la simmetria di gauge è una faccenda delicata. In elettromagnetismo classico, si dimostra che a seguito del gauge fixing gli stati di polarizzazione dell’onda elettromagnetica sono ridotti da tre a due. In QFT, il gauge fixing è una faccenda complicata, per colpa delle maledette copie di Gribov. E non mi sono preoccupato di studiare il formalismo delle teorie di gauge in dimensione arbitraria, ma non è questo che è rilevante per quanto segue.

Quello che vorrei sapere è questo. Visto che l’integrale del rotore uscente da una superficie è pari all’integrale del potenziale lungo il bordo, mi chiedo se (in ordine decrescente di improbabilità):

1) esiste qualche teorema di ricostruzione che permette di conoscere il rotore in ogni punto della superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

2) visto che in uno spazio tridimensionale le superfici racchiuse da un bordo sono infinite, esiste qualche teorema di ricostruzione e selezione che permette di conoscere il rotore in ogni punto di una qualche specifica superficie conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo?

3) visto che siamo sempre in tre dimensioni, esiste qualche teorema che permette di conoscere il rotore in ogni punto interno di un tubo conoscendo il potenziale in ogni punto del bordo del tubo?

4) altrimenti, esiste un qualche teorema che ci dice qual è l’informazione minima necessaria indispensabile per poter ricostruire il valore del rotore del campo in ogni punto dello spazio?

5) tutto ciò potrebbe avere a che fare con la fantasmagorica coomologia di De Rham?

Insomma, mi piacerebbe sapere se esistono risultati che permettono di comprimere l’informazione contenuta da un rotore in un certo volume nel valore del suo potenziale in uno spazio di dimensione inferiore, ed eventualmente conoscere un metodo per compiere la decompressione. Fantamatematica?

Update. Ho l’impressione che la risposta possa venire da qui, anche se in maniera diversa da quello che pensavo: in gauge theory, a Wilson loop is a gauge-invariant observable obtained from the holonomy of the gauge connection around a given loop. In the classical theory, the collection of all Wilson loops contains sufficient information to reconstruct the gauge connection, up to gauge transformation (da wiki). In particolare il problema della risoluzione è affrontato qui.

…alias gli Stati Stazionari dell’equazione di FokKer Planck, con una divergenza ultraviolenta verso le serie divergenti.

E’ cogente in tempi di crisi l’individuazione degli stati stazionari cui il sistema econo-sociale 2.0 (o’ sistemone aleatorio, una super-martingala per gli addetti ai lavori) tenderà a portarsi ergodicamente ad uno stato stazionario. Pronti stavolta a prestar fede ad ogni Cassandra, desideriamo sapere se questo agognato nuovo ordine vedrà il prezzo dell’acqua superare quello della benzina, oppure se restaurerà livelli di consumi e sfruttamento consoni al nostro stile di vita. Il nuovo equilibrio potrebbe prevedere la riduzione delle civiltà occidentali in schiavitù sotto il gioco dell’Impero di Cindia o la scomparsa del genere umano dalla faccia del pianeta. Ma prima, molto prima di imbracciare la sfera sarebbe utile sapere se esiste uno stato stazionario, e se ne esiste uno o molteplici, così eventualmente ci dirigiamo verso quello più promettente.

Serie divergenti

In matematica prima di dare aria alla bocca bisogna sapere che le cose di cui si parla esistono, altrimenti possono succedere brutti sherzi. Non bisogna essere troppo pedanti però, checché ne dicano i matematici quasi tutta la matematica parte da intuizioni "fisiche" (questo articolo di Arnold in proposito è storico, leggere la prima frase). Come messo in luce nella magnifica introduzione del libro storico di Hardy sulle serie divergenti, quando i matematici erano fisici si potevano scrivere cose come questa (sic!):

(I)    1 - 1 + 1  - 1 + … = 1/2

o questa:

(II)   1 - 2 + 3 - 4 + … = 1/4

senza preoccuparsi troppo di definire. Ecco per la cronaca la dimostrazione banale della prima:

s := 1 - 1 + 1 - 1 + …

= 1 - (1 - 1 + 1 - … )

= 1 - s

Quindi 2s = 1  e la somma risulta 1/2. Della seconda:

 t := 1 - 2 + 3 - 4 + …

= (1 - 1 + 1 - 1 + …) - (1 - 2 + 3 - 4 + …)ù

= s - t 

Quindi 2t = 1/2. Sembra pazzia? C’è di peggio. Ad Hardy giunse un giorno la lettera di un giovane autodidatta indiano in cui era annotato:

1 + 2 + 3 + 4 + … = - 1/12

La somma di tutti i numeri naturali è un numero negativo, una frazione dell’unità! Qual è il trucco? Il trucco è che queste serie infinite non sono definite tramite la somma usuale, ma in altro modo, un modo che conferisce significato ai simboli, un significato diverso da quello che conosciamo ma che in qualche modo ne conserva le proprietà, in particolare associativa, distributiva, e che coincide con il significato usuale quando questo ha senso.

La lezione è questa: le cose esistono a seconda del senso che attribuiamo loro, e attribuirgliene uno è un lavoro da fisici. L’esistenza diventa una questione di coerenza.

Stati stazionari

Ma ho decisamente sforato, e per non farvi sfiorire dalla noia torno sui miei passi. Dicevamo dell’esistenza ed unicità. Un problema importante per lo studio delle equazioni di diffusione (Fokker-Planck) ed in generale delle equazioni alle derivate parziali è l’individuazione degli stati stazionari, gli stati invarianti nel tempo, laddove la caratterizzazione dell’intera evoluzione è sovrumana e nota solo in casi eccezionalissimi. Ma prima ancora viene l’esistenza e l’unicità, e nel pacchetto si desidererebbe anche l’ergodicità che assicura che se esiste ed è unico lo stato stazionario, il sistema effettivamente ci tende (quasi)-qualunque sia lo stato iniziale. L’impressione è che le risposte non siano complete; da quel che leggo qui

The existence and uniqueness of stationary distributions for this Fokker-Planck equation is still an unanswered question

ma in riferimento ad un’equazione di Langevin di campo con rumore complesso, utile per la quantizzazione stocastica. Per quanto riguarda l’equazione di FKP, il problema è affrontato nella maniera più completa qui, e mi riprometto di leggere, studiare e commentare. Ma per il corollario al discorso precedente, siccome queste equazioni hanno senso fisico, devono "accadere" in qualche luogo dell’Universo, allora si può dar per scontato che si comportino come ragionevolmente l’intuizione fisica indica.

Per ora solo alcune considerazioni banali. L’eq. FKP è un’equazione di continuità per la densità di probabilità

ove la densità di corrente è data da

I vettori si considerano in R^n, D(x) è la matrice di diffusione, che si suppone invertibile, e \mu(x) il vettore di deriva. L’equazione differisce da quella abituale in quanto ottenuta, per ragioni di opportunità fisica, in discretizzazione cinetica. Il passaggio alle altre interpretazioni consiste in una ridefinizione del vettore di deriva. Gli stati stazionari dell’eq. FKP sono dati pertanto dall’annullarsi della divergenza della densità di corrente, cosa che si verifica in due casi:

1) Correnti nulle

L’annullarsi della corrente implica

       (1)

Iil campo a dx è conservativo, e pertanto anche irrotazionale (se siamo in n=3), o più genericamente esso è una 1-forma chiusa:

il che implica che per ogni i,j indici vettoriali si ha

      (2)

Scrivo queste relazioni ovvie solo per evidenziare che  (2) è una forma di bilancio dettagliato. Più conformemente con il bilancio dettagliato noto in analoghi processi su spazio degli stati discreti, integriamo in (1) lungo un qualsiasi percorso \gamma che collega i due punti x e y:

      (2)

Se lo spazio degli stati è connesso (il campo nullo non isola porzioni di sistema), ogni stato può essere collegato ad un arbitrario x e si può intendere la (2) come un’espressione esplicita per la densità di probabilità in y, a meno di una costante di normalizzazione. Questa è una relazione di bilancio dettagliato. Sarebbe interessante (A) dare un senso all’espressione

      (2)

Con un po’ di teorema di Girsanov dovrebbe essere un fatto pacifico. (B) Dare un’espressione in termini di integrale sui cammini, in vista di una generalizzazione a stati stazionari di non-equilibrio. Notiamo prima di chiudere che il campo conservativo non è la deriva, campo di forze deterministico che compare nell’EDS associata, ma una combinazione di rumore (fluttuazione) e di deriva (dissipazione). Quando questo rapporto è proporzionale ad x si ottiene la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e la relazione di dispersione di Einstein:

      (2)

ove \beta è la temperatura inversa del bagno termico. Questo può suggerire (C) un modo di definire la temperatura localmente lontano dall’equilibrio, purché valga localmente l’equipartizione dell’energia e coincida con l’energia cinetica media in un intorno di ogni punto. Abbiamo visto che se lo stato stazionario è d’equilibrio, il campo è conservativo. Viceversa un campo conservativo ammette uno stato stazionario d’equilibrio. Ma è unico?

2) Correnti solenoidali

Gli stati stazionari con densità di corrente nonnulla si dicono di non-equilibrio, perché un’azione esterna (affinità) mentiene accesi tali flussi di probabilità. In dimensione 3 la corrente è solenoidale

mentre nel caso generico dovrò andare a ripassare un po’ di geometria differenziale per le forme esatte e la derivazione esterna. Ora mentre abbiamo appurato che conservatività ed equilibrio sono intimamente collegate, non abbiamo però veramente mai escluso che un campo conservativo abbia soltanto soluzioni di equilibrio. Il fatto non mi è ovvio.

Chiaramente gli stati stazionari di non equilibrio sono molto più complessi da individuare. Un’idea (D) è che sia possibile generalizzare con tecniche di integrazione funzionale la costruzione per alberi di Schnakenberg, almeno da un punto di vista formale. L’altra strada percorribile è di studiare le conseguenze dell’invarianza di gauge della teoria. Il potenziale vettore A è determinato a meno del gradiente di un campo scalare

che si porta via informazione, altrimenti la corrente sarebbe sovradeterminata. Allo stesso modo in EM classico la simmetria di gauge si porta via un grado di libertà non fisico del campo elettromagnetico (uno stato di polarizzazione del fotone). Questa riduzione di informazione si legge anche nel teorema di Stokes:

L’informazione contenuta in una qualsiasi superficie limitata dal bordo \Sigma è contenuta nel bordo. Ci si può chiedere quanto e cosa si possa ricostruire di J con la sola conoscenza di A sul bordo, e quant’altro serve per conoscere tutta la densità di corrente. Quanto, come e dove si riesce a comprimere l’informazione? La domanda ha grande rilevanza fisica perché scopo ultimo della termodinamica di non-equilibrio è quello di descrivere le correnti e le forze microscopiche in termini di poche correnti e forze macroscopiche e di esprimere gli stati stazionari in termini di queste coppie di grandezze intensive vs. estensive, generalizzazioni dei potenziali termodinamici, e come soluzioni estremali di un problema variazionale (MAXENT).

Dopo un altalenarsi di vicende sconvolgenti siamo finalmente all’altalena. Come al solito, quanto segue è parascientifico, frutto di speculazioni dell’autore. L’altra volta avevamo raccontato la storia di un omino sfortunato imprigionato in precario equilibrio sulla sommità di una montagna. Non finì bene. Il post titolava l’altalena stocastica, ma di altalene non si era parlato. E’ per questo che stavolta vogliamo parlare dello skateboard.

La situazione è questa. Siete in piedi su uno skateboard fermo e volete partire, senza mettere il piede a terra. Con un po’ di gioco oscillatorio di gambe e busto riuscite a mettervi in moto in una direzione, certo senza mai raggiungere velocità strabilianti. Provare per credere: se non ci riuscite avete qualche problema di sensibilità motoria. Siete dunque in moto, e si palesa il paradosso: una forza interna al sistema skateboard+skateboarder ha apparentemente determinato una variazione nella velocità del centro di massa complessivo del sistema. Come visto, la soluzione del paradosso è da ricercarsi nell’attrito delle ruote con il suolo, che agisce come forza esterna, perché se non ci fosse attrito, per quanti sforzi voi facciate non c’è verso di partire.

L’attrito che si genera tra due superfici a contatto (radente o volvente che sia) ostacola un moto opponendogli una forza contraria approssimativamente proporzionale alla (componente perpendicolare al piano della) forza peso dell’oggetto. Tuttavia, se la forza è molto debole potrebbe non essere in grado di superare un piccolo scalino iniziale.

fig. L’attrito A in funzione della forza applicata F. Dopo l’iniziale identità, l’attrito cade attestandosi ad un valore G costante proporzionale al peso percepito dell’oggetto.

In figura è rappresentata la risposta dell’attrito ad una forza esterna. Come vedete, se spostate un oggetto (pensate ad un mobile) graduando la forza da meno intensa a più intensa, inizialmente l’attrito opporrà una forza esattamente uguale e contraria, finchè non raggiungerete un livello di soglia. A quel punto l’oggetto si muove ed improvvisamente la forza esercitata è più che sufficiente (a volte anche troppa) per spostare il mobile. Il motivo è che l’attrito è generato dal cozzare delle asperità microscopiche tra le superfici a contatto dei materiali e soprattutto dai legami chimici che si formano tra essi; quando in moto, i legami chimico-fisici non fanno in tempo a formarsi che già si devono sciogliere, mentre in una situazione inizialmente ferma questi sono saldi.

Come si fà ad usare questo fenomeno per partire con lo skate? Inizialmente potete muovere delicatamente il busto in avanti, sfruttando il gradino per impedire alle ruote di scorrere indietro. Come spingendovi debolmente contro un muro, siete in grado di determinare un (seppur minimo) movimento del vostro centro di massa non bilanciato da un proporzionato e contrario spostamento del centro di massa della tavola. A quel punto vi riportate eretti dando uno strattone di gambe, che permette alle ruote di superare l’attrito statico e di marciare assieme a voi. Lo skater è ora l’agente esterno, in moto, che impone una forza alla tavola sufficiente a partire. Essendo la tavola un oggetto molto leggero, complessivamente l’energia cinetica guadagnata sarà considerevole, se confrontata con la debolezza delle forze d’attrito che l’hanno generata. Beninteso, che l’energia è pur sempre dissipata: la fatica immane non è giustificata da un così magro divertimento.

Per effetto dell’attrito in poco tempo sarete di nuovo fermi, ma sappiamo tutti che se si indovina una giusta frequenza di oscillazione, si riesce a proseguire. La dinamica successiva non può essere semplificata in maniera altrettanto banale, perché non essendo fermi non c’è più il meccanismo del gradino, ma ci saranno meccanismi più sofisticati. Inoltre muoversi così in skateboard è talmente frustrante che è faticoso persino pensarci. Quindi godetevi mentalmente una bella discesa, e alla prossima.

Un indovinello

Procediamo con ordine. Dal primo anno di fisica mi porto dietro questo paradosso non paradossale di mia ideazione. Sulla sommità di una montagna molto aguzza poggia precariamente una gabbia, e dentro la gabbia vi è un uomo che sta fermo in piedi, gambe aperte e braccia conserte, ormai da anni. Infatti il sistema è in perfetto equilibrio, e l’uomo teme che anche un piccolo movimento possa alterare l’equilibrio e farlo precipitare rovinosamente assieme alla gabbia.

In questi lunghi anni l’uomo passa il tempo cercando di ricordare e ricostruire le teorie fisiche che aveva studiato alle superiori, validando e falsificando le sue teorie con esperimenti pensati e cercando di capire come uscire da questa angosciosa situazione. Finalmente, si convince di poter circolare liberamente nella gabbia, e va.

Appena si sposta di un passo però la gabbia si inclina, un effetto che non aveva considerato. Disperato cerca di recuperare la posizione ma ormai è troppo tardi. La gabbia ruzzola giù dal promontorio e si sfascia ai piedi della montagna.

Pochi secondi prima di lasciare definitivamente questo mondo, un ultimo pensiero si fa largo tra i segnali di dolore nel suo cervello: dev’esser stata colpa dell’attrito. Come è possibile che l’uomo pensasse di salvarsi? Che cosa è successo veramente?

Ho in casa una bellissima tastierina per bimbi modificata artigianalmente da un membro del collettivo Autonomia Elettronica (v. qui e qui). La tastiera funziona quasi normalmente ma è dotata di un paio di manopoline in più che la fanno deragliare verso ben altri lidi: rumore, ritmi indiavolati, suoni distorti, etc. Un gioco fantastico che se commercializzato avrebbe successone. Una caratteristica è che la tastiera è stocastica: suonando uno stesso tasto non si ottiene quasi mai lo stesso suono o effetto.

Suonandola ho penato che mi piacerebbe avere una tastiera stocastica, o meglio sarebbe un pianoforte acustico stocastico (la vedo più dura…). Premendo un tasto si genera una nota random con probabilità data da una certa distribuzione statistica, non necessariamente di equiprobabilità e non necessariamente la stessa per ogni tasto. Anzi sarebbe perfetto se le distribuzioni fossero controllabili da parte dell’esecutore-compositore, che possa variare dal totale determinismo del pianoforte ad un "rumore bianco" indifferenziato. Rimane in suo pieno controllo la componente ritmica ed espressiva, e lavorando sulle distribuzioni statistiche si potrebbero generare aree armoniche, piccole melodie quasi-deterministiche e cose simili.